7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
197
Si A
a deux valeurs propres λ et μ dans ]1, +∞[, on commence par les
connecter pour se ramener au cas d’une valeur propre double μ : on choisit
un vecteur propre réel X pour λ et un X
∈ E 1/λ tels que ω(X, X
) = 1.
On modifie A
sur le sous-espace qu’ils engendrent en posant
A
(s)(X) = ((1 − s)λ + sμ)X,
A
(s)(X
) =
1
(1 − s)λ + sμ
X
de sorte que A
(0) = A
et A
(1) n’a plus les valeurs propres λ et 1/λ
mais μ et 1/μ avec multiplicité 2. Remarquons que A
(1) est diagonalisable
puisqu’elle admet la même base de vecteurs propres que A
(0) = A
.
Soient X et Y deux vecteurs propres indépendants de A
(1) pour la valeur
propre μ. Les sous-espaces caractéristiques E λ et E 1/λ sont isotropes et leur
somme est symplectique (en application du corollaire 5.6.7). Il existe des
vecteurs X
et Y
de E 1/λ tels que
ω(X, X
) = ω(Y, Y
) = 1, ω(X, Y
) = ω(Y, X
) = 0,
bref tels que X, X
, Y, Y
soit une base symplectique du sous-espace vectoriel
complexe F que ces vecteurs engendrent. Comme ces vecteurs sont dans des
sous-espaces caractéristiques correspondant à des valeurs propres réelles,
on peut les choisir réels. On choisit encore une fois un chemin β(s) avec
β(0) = 1 et β(s) ∈ C − R pour s > 0 et l’on définit A(s) par
A(s)(X + iY ) = β(s)μ(X + iY ),
A(s)(X − iY ) = β(s)μ(X − iY ),
A(s)(X
+ iY
) =
1
β(s)
A(X
+ iY
), A(s)(X
− iY
) =
1
β(s)
A(X
− iY
),
et A(s) = A sur F
◦ (on a noté A
(1) = A pour simplifier). À nouveau, la
matrice A(s) est réelle, symplectique, et dans Sp(2n)
pour β bien choisi.
Elle admet les valeurs propres β(s)μ, β(s)μ, et donc aussi leurs inverses.
Comme précédemment, toutes ces valeurs propres sont simples, puisque
dim C E μ (A(s)) = dim C E μ (A) − 2
(et de même pour 1/μ).
Ce procédé permet de supprimer tous les quadruplets de valeurs propres
de la forme
{λ, μ, 1/λ, 1/μ} ⊂ R + − {1} .
Il reste à A
au plus deux valeurs propres réelles positives, en fait aucune si
d´ et(A−Id) > 0 (ce signe est le même que celui de d´ et(A
−Id)) et exactement
deux si d´ et(A − Id) < 0.
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Si A
a deux valeurs propres λ et μ dans ]1, +∞[, on commence par les
connecter pour se ramener au cas d’une valeur propre double μ : on choisit
un vecteur propre réel X pour λ et un X
∈ E 1/λ tels que ω(X, X
) = 1.
On modifie A
sur le sous-espace qu’ils engendrent en posant
A
(s)(X) = ((1 − s)λ + sμ)X,
A
(s)(X
) =
1
(1 − s)λ + sμ
X
de sorte que A
(0) = A
et A
(1) n’a plus les valeurs propres λ et 1/λ
mais μ et 1/μ avec multiplicité 2. Remarquons que A
(1) est diagonalisable
puisqu’elle admet la même base de vecteurs propres que A
(0) = A
.
Soient X et Y deux vecteurs propres indépendants de A
(1) pour la valeur
propre μ. Les sous-espaces caractéristiques E λ et E 1/λ sont isotropes et leur
somme est symplectique (en application du corollaire 5.6.7). Il existe des
vecteurs X
et Y
de E 1/λ tels que
ω(X, X
) = ω(Y, Y
) = 1, ω(X, Y
) = ω(Y, X
) = 0,
bref tels que X, X
, Y, Y
soit une base symplectique du sous-espace vectoriel
complexe F que ces vecteurs engendrent. Comme ces vecteurs sont dans des
sous-espaces caractéristiques correspondant à des valeurs propres réelles,
on peut les choisir réels. On choisit encore une fois un chemin β(s) avec
β(0) = 1 et β(s) ∈ C − R pour s > 0 et l’on définit A(s) par
A(s)(X + iY ) = β(s)μ(X + iY ),
A(s)(X − iY ) = β(s)μ(X − iY ),
A(s)(X
+ iY
) =
1
β(s)
A(X
+ iY
), A(s)(X
− iY
) =
1
β(s)
A(X
− iY
),
et A(s) = A sur F
◦ (on a noté A
(1) = A pour simplifier). À nouveau, la
matrice A(s) est réelle, symplectique, et dans Sp(2n)
pour β bien choisi.
Elle admet les valeurs propres β(s)μ, β(s)μ, et donc aussi leurs inverses.
Comme précédemment, toutes ces valeurs propres sont simples, puisque
dim C E μ (A(s)) = dim C E μ (A) − 2
(et de même pour 1/μ).
Ce procédé permet de supprimer tous les quadruplets de valeurs propres
de la forme
{λ, μ, 1/λ, 1/μ} ⊂ R + − {1} .
Il reste à A
au plus deux valeurs propres réelles positives, en fait aucune si
d´ et(A−Id) > 0 (ce signe est le même que celui de d´ et(A
−Id)) et exactement
deux si d´ et(A − Id) < 0.