INTRODUCTION DE LA PREMIÈRE PARTIE
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Un des premiers résultats de cette théorie est un théorème, dû à Reeb
(au moins pour les fonctions de Morse) et que nous démontrerons (dans
ce cas) qui affirme qu’une variété compacte qui possède une fonction avec
seulement deux points critiques est homéomorphe à une sphère. Mais bien
sûr, il y a sur la sphère des fonctions avec plus de points critiques.
Figure 3. Une autre sphère
La troisième figure (figure 3) est là pour illustrer ce fait. Parce que c’est
pratique à visualiser, on a gardé la « même » fonction hauteur et on a « fait
un creux » dans la sphère, en douceur, ce qui fait que la sous-variété est bien
sûr toujours difféomorphe à une sphère, mais que maintenant, la fonction a
deux maxima locaux et un point selle. On remarquera toutefois que la parité
du nombre de points critiques de la nouvelle fonction est la même que celle
de l’ancienne. Si on les suppose non dégénérés, une importante propriété
qui sera définie plus bas (et que vérifient les points critiques représentés sur
nos figures), le nombre de points critiques comptés modulo 2 est égal à la
caractéristique d’Euler modulo 2 de la variété, un invariant qui ne dépend
pas de la fonction mais seulement de la variété.
L’idée des espaces de trajectoires de Witten permet de mettre en évidence un invariant plus fin : on voit bien que le tore et la sphère sont des
variétés très différentes, même si toutes les deux possèdent une fonction
avec quatre points critiques non dégénérés. Cet outil est ce que l’on appelle
aujourd’hui l’homologie de Morse HM k (V ) de la variété. C’est l’homologie
d’un complexe, le complexe de Morse, construit à partir des points critiques
d’une fonction de Morse en « comptant » les trajectoires d’un champ de
vecteurs qui les relient... une homologie qui ne dépend, in fine, que (du type
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Un des premiers résultats de cette théorie est un théorème, dû à Reeb
(au moins pour les fonctions de Morse) et que nous démontrerons (dans
ce cas) qui affirme qu’une variété compacte qui possède une fonction avec
seulement deux points critiques est homéomorphe à une sphère. Mais bien
sûr, il y a sur la sphère des fonctions avec plus de points critiques.
Figure 3. Une autre sphère
La troisième figure (figure 3) est là pour illustrer ce fait. Parce que c’est
pratique à visualiser, on a gardé la « même » fonction hauteur et on a « fait
un creux » dans la sphère, en douceur, ce qui fait que la sous-variété est bien
sûr toujours difféomorphe à une sphère, mais que maintenant, la fonction a
deux maxima locaux et un point selle. On remarquera toutefois que la parité
du nombre de points critiques de la nouvelle fonction est la même que celle
de l’ancienne. Si on les suppose non dégénérés, une importante propriété
qui sera définie plus bas (et que vérifient les points critiques représentés sur
nos figures), le nombre de points critiques comptés modulo 2 est égal à la
caractéristique d’Euler modulo 2 de la variété, un invariant qui ne dépend
pas de la fonction mais seulement de la variété.
L’idée des espaces de trajectoires de Witten permet de mettre en évidence un invariant plus fin : on voit bien que le tore et la sphère sont des
variétés très différentes, même si toutes les deux possèdent une fonction
avec quatre points critiques non dégénérés. Cet outil est ce que l’on appelle
aujourd’hui l’homologie de Morse HM k (V ) de la variété. C’est l’homologie
d’un complexe, le complexe de Morse, construit à partir des points critiques
d’une fonction de Morse en « comptant » les trajectoires d’un champ de
vecteurs qui les relient... une homologie qui ne dépend, in fine, que (du type