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INTRODUCTION DE LA PREMIÈRE PARTIE
Les niveaux f
−1 (a) sont
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∅
si a < −1
un point si a = −1
un cercle si − 1 < a < 1
un point si a = 1
∅
si a > 1.
En remontant les valeurs de la fonction, on constate que les niveaux ont
toujours la même topologie, jusqu’à ce que se produise un accident, où la
topologie change, puis reste la même jusqu’à l’accident suivant.
Il en est de même pour les « sous-niveaux », c’est-à-dire ce qui se trouve
au-dessous d’un niveau donné, qui sont, dans ce cas, d’abord vides, puis
(brièvement) un point, puis un disque, puis la sphère tout entière.
Les accidents sont les valeurs critiques de la fonction, correspondant aux
points critiques, ceux où la différentielle de f s’annule, ceux pour lesquels
le plan tangent est horizontal, les pôles nord et sud de la sphère. Bien sûr,
le pôle sud est le minimum de la fonction et le pôle nord son maximum.
Figure 2. Le tore
La situation est analogue dans le cas du tore de la figure suivante
(figure 2) à cette différence près qu’il y a maintenant des points critiques
qui ne sont pas des extrema de la fonction, ce sont les deux points « selle ».
Les niveaux correspondants sont des courbes en forme de huit (dont
l’une est représentée sur la figure), et donc pas des sous-variétés, on aura
remarqué que les niveaux réguliers, non critiques, doivent, eux, être des
sous-variétés (à cause du théorème de submersion).