INTRODUCTION DE LA PREMIÈRE PARTIE
Cette première partie est consacrée à la théorie de Morse, avec en ligne
de mire le complexe défini par les points critiques d’une fonction de Morse
et les trajectoires d’un champ de gradients.
C’est une théorie dont la toute première pierre est la remarque que l’étude
d’une fonction (bien choisie) peut donner des informations assez précises sur
la topologie d’une variété. L’exemple le plus classique — mais les exemples
les plus classiques sont souvent les plus instructifs — est celui de la fonction « hauteur » R
3
→ R et de sa restriction aux différentes sous-variétés
représentées sur les figures. La fonction f est, dans les trois cas considérés,
la restriction de (x, y, z) → z.
−1
+1
Figure 1. La sphère ronde
La première figure (figure 1) représente la sphère « ronde », c’est-à-dire
la sphère unité
S
2 =
(x, y, z) ∈ R
3
| x
2 + y
2 + z
2 = 1
.