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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
et, pour Y ∈ W
1,p (S
1 ; R
2n ), on a
gY W 1,p ≤ c(g) Y W 1,p
pour une certaine constante c(g), qui est la norme opératorielle de g. Donc ϕ
et ψ définissent la même topologie d’espace de Banach sur W
1,p (x
T W )
(celle-ci ne dépend donc pas du choix de ϕ, comme la notation utilisée
l’anticipait).
L’analogue W
1,p de l’espace des champs de vecteurs le long de x, dont
nous avons vu (au § 6.3.a) qu’il devait être l’espace tangent en x à l’espace
de lacets, est ainsi muni d’une structure d’espace de Banach. L’idée de ce
qui suit est d’utiliser les espaces tangents pour définir des cartes locales sur
l’espace de lacets lui-même. Pour cela, nous utilisons l’exponentielle d’une
métrique riemannienne fixée sur W (voir le § 14.5). Celle-ci est définie sur
un voisinage D de la section nulle dans T W (un fibré en disques)
(15) . Pour
tout lacet x de classe C
∞ ,
exp x : W
1,p (x
D) −→ C
0 (S
1 ; W )
Y −→ (exp x Y : t → exp x(t) Y (t)).
Rappelons que W
1,p (S
1 ; R
2n ) ⊂ C
0 (S
1 ; R
2n ) pour p > 1. Dans la formule, x
est de classe C
∞ , Y est de classe W
1,p et exp x Y est de classe W
1,p , en
particulier continue.
Considérons donc l’ensemble de tous les couples
W
1,p (x
D), exp x
pour x ∈ LW
et l’espace, noté L
1,p W , des applications continues y : S
1
→ W telles qu’il
existe x ∈ LW et Y ∈ W
1,p (x
D) tels que y(t) = exp x(t) Y (t).
Théorème 6.8.1. L’espace L
1,p W est muni d’une structure de variété de
classe C
∞ par l’atlas
W
1,p (x
D), exp x
x∈LW
.
La structure ainsi définie ne dépend pas de la métrique riemannienne utilisée. De plus,
LW = C
∞ (S
1 ; W ) ⊂ L
1,p W ⊂ C
0 (S
1 ; W )
chacun des espaces étant dense dans le suivant.
Voici l’idée de la démonstration, pour les détails de laquelle nous renvoyons à [62]. Pour x ∈ W , l’application exp x est un difféomorphisme de la
(15) Le rayon maximal des disques d’un tel fibré est le rayon d’injectivité de la variété
riemannienne W .
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
et, pour Y ∈ W
1,p (S
1 ; R
2n ), on a
gY W 1,p ≤ c(g) Y W 1,p
pour une certaine constante c(g), qui est la norme opératorielle de g. Donc ϕ
et ψ définissent la même topologie d’espace de Banach sur W
1,p (x
T W )
(celle-ci ne dépend donc pas du choix de ϕ, comme la notation utilisée
l’anticipait).
L’analogue W
1,p de l’espace des champs de vecteurs le long de x, dont
nous avons vu (au § 6.3.a) qu’il devait être l’espace tangent en x à l’espace
de lacets, est ainsi muni d’une structure d’espace de Banach. L’idée de ce
qui suit est d’utiliser les espaces tangents pour définir des cartes locales sur
l’espace de lacets lui-même. Pour cela, nous utilisons l’exponentielle d’une
métrique riemannienne fixée sur W (voir le § 14.5). Celle-ci est définie sur
un voisinage D de la section nulle dans T W (un fibré en disques)
(15) . Pour
tout lacet x de classe C
∞ ,
exp x : W
1,p (x
D) −→ C
0 (S
1 ; W )
Y −→ (exp x Y : t → exp x(t) Y (t)).
Rappelons que W
1,p (S
1 ; R
2n ) ⊂ C
0 (S
1 ; R
2n ) pour p > 1. Dans la formule, x
est de classe C
∞ , Y est de classe W
1,p et exp x Y est de classe W
1,p , en
particulier continue.
Considérons donc l’ensemble de tous les couples
W
1,p (x
D), exp x
pour x ∈ LW
et l’espace, noté L
1,p W , des applications continues y : S
1
→ W telles qu’il
existe x ∈ LW et Y ∈ W
1,p (x
D) tels que y(t) = exp x(t) Y (t).
Théorème 6.8.1. L’espace L
1,p W est muni d’une structure de variété de
classe C
∞ par l’atlas
W
1,p (x
D), exp x
x∈LW
.
La structure ainsi définie ne dépend pas de la métrique riemannienne utilisée. De plus,
LW = C
∞ (S
1 ; W ) ⊂ L
1,p W ⊂ C
0 (S
1 ; W )
chacun des espaces étant dense dans le suivant.
Voici l’idée de la démonstration, pour les détails de laquelle nous renvoyons à [62]. Pour x ∈ W , l’application exp x est un difféomorphisme de la
(15) Le rayon maximal des disques d’un tel fibré est le rayon d’injectivité de la variété
riemannienne W .