6.8. APPENDICE : STRUCTURE DE VARIÉTÉ DE BANACH SUR LW
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fibre D x ⊂ T x W sur son image. Ainsi, pour tout t, l’égalité exp x(t) Y (t) =
exp x(t) Z(t) implique que Y (t) = Z(t). Le « changement de carte »
Y −→ exp
−1
x (exp x Y )
envoie une section W
1,p sur une section W
1,p parce que l’exponentielle
est C
∞ et ce changement de carte est aussi différentiable que les lacets x
et x
qui le définissent. C’est bien une structure de variété sur L
1,p W .
La compatibilité des atlas définis par différentes métriques riemanniennes
vient une fois encore du fait que l’exponentielle de toute métrique riemannienne est une application C
∞ , ce qui donne à la composition
W
1,p (x
D g )
(exp g ) x
− −−−−−− → C
0 (S
1 ; W )
(exp g )
−1
x
− −−−−−−−− → W
1,p (x
D g )
(avec des notations évidentes) la différentiabilité voulue.
Enfin les inclusions sont claires et la dernière assertion est conséquence
de la densité de C
∞ (S
1 ; W ) dans C
0 (S
1 ; W ).
Remarquons que l’espace tangent en un point y ∈ L
1,p W à cette variété
de Banach est, par construction,
T y L
1,p W = W
1,p (y
T W ).