6.8. APPENDICE : STRUCTURE DE VARIÉTÉ DE BANACH SUR LW
165
Disons que (x, u) ∼ (x, v) si
D
u
ω =
D
v
ω
et appelons
LW le quotient de DW par la relation d’équivalence ∼. Il est
muni d’une projection
π :
LW −→ LW
(oublier le disque) qui en fait un revêtement de groupe π 2 (W )/ Ker(ω :
π 2 (W ) → R). L’expression
A H (x, u) = −
D
u
ω +
1
0
H t (x(t))dt
définit une fonction sur
LW qui satisfait à la relation
π
α H = dA H ,
le revêtement π :
LW → LW est le revêtement d’intégration de la forme
d’action.
Voir aussi l’exercice 34 page 479.
6.8. Appendice : structure de variété de Banach sur LW
Les espaces de fonctions C
∞ ne sont pas des espaces de Banach (ce sont
des espaces de Fréchet). Nous allons nous contenter ici des espaces de lacets
de classe W
1,p , ce que nous décrivons précisément maintenant.
Rappelons que tout fibré vectoriel symplectique sur S
1 est trivialisable.
C’est donc notamment le cas, pour x ∈ LW , de
x
T W =
(t, Y ) ∈ S
1
× T W | x(t) = p(Y )
.
Soit donc ϕ une trivialisation
ϕ : x
T W −→ S
1
× R
2n .
Elle permet d’associer à toute section Y du fibré x
T W , une section ϕY du
fibré trivial S
1
× R
2n , c’est-à-dire une application ϕY : S
1
→ R
2n . Pour
p > 1, notons
W
1,p (x
T W ) =
Y | ϕY ∈ W
1,p (S
1 ; R
2n )
(la définition des espaces de Sobolev W
1,p est rappelée au § 16.4 — signalons
quand même ici que W
1,p est contenu dans C
0 , ce qui est rassurant). Une
autre trivialisation ψ diffère de ϕ par une application
g : S
1
−→ GL(2n; R)
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Disons que (x, u) ∼ (x, v) si
D
u
ω =
D
v
ω
et appelons
LW le quotient de DW par la relation d’équivalence ∼. Il est
muni d’une projection
π :
LW −→ LW
(oublier le disque) qui en fait un revêtement de groupe π 2 (W )/ Ker(ω :
π 2 (W ) → R). L’expression
A H (x, u) = −
D
u
ω +
1
0
H t (x(t))dt
définit une fonction sur
LW qui satisfait à la relation
π
α H = dA H ,
le revêtement π :
LW → LW est le revêtement d’intégration de la forme
d’action.
Voir aussi l’exercice 34 page 479.
6.8. Appendice : structure de variété de Banach sur LW
Les espaces de fonctions C
∞ ne sont pas des espaces de Banach (ce sont
des espaces de Fréchet). Nous allons nous contenter ici des espaces de lacets
de classe W
1,p , ce que nous décrivons précisément maintenant.
Rappelons que tout fibré vectoriel symplectique sur S
1 est trivialisable.
C’est donc notamment le cas, pour x ∈ LW , de
x
T W =
(t, Y ) ∈ S
1
× T W | x(t) = p(Y )
.
Soit donc ϕ une trivialisation
ϕ : x
T W −→ S
1
× R
2n .
Elle permet d’associer à toute section Y du fibré x
T W , une section ϕY du
fibré trivial S
1
× R
2n , c’est-à-dire une application ϕY : S
1
→ R
2n . Pour
p > 1, notons
W
1,p (x
T W ) =
Y | ϕY ∈ W
1,p (S
1 ; R
2n )
(la définition des espaces de Sobolev W
1,p est rappelée au § 16.4 — signalons
quand même ici que W
1,p est contenu dans C
0 , ce qui est rassurant). Une
autre trivialisation ψ diffère de ϕ par une application
g : S
1
−→ GL(2n; R)