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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Donc π
α est une forme exacte : une primitive
f est définie en choisissant
un point y 0 ∈
V et en posant
f (y) =
y
y 0
π
α
en intégrant le long de n’importe quel chemin joignant y 0 à y, le résultat
n’en dépendant pas. Bien sûr d
f = π
α.
Le revêtement
V → V est « le plus petit revêtement
(14) de V sur lequel α
est exacte », appelé le revêtement d’intégration de α.
Comparons maintenant les points critiques de π
α et ceux de
f . Comme
(d
f ) y = 0 ⇐⇒ α π(y) = 0,
les points critiques sont les mêmes — ainsi que les propriétés de nondégénérescence et les indices.
Un champ de pseudo-gradients pour α (définition analogue à celle donnée dans le cas d’une fonction) se relève en un champ de pseudo-gradients
pour
f . Il est donc possible d’essayer de fabriquer un complexe avec les
points critiques de α comme nous l’avons fait au chapitre 3. C’est ce que
fait Latour dans [38]. La seule grosse différence est que
V n’a aucune raison
d’être compacte, elle ne l’est même jamais (si la forme α n’est pas exacte).
Pour comprendre la difficulté issue de cette généralisation, remarquons
que le champ de pseudo-gradients pour
f et les trajectoires entre deux zéros
d’indices consécutifs de α proviennent des trajectoires joignant les points de
π
−1 (c) à des points de π
−1 (d). Il peut donc y en avoir un nombre infini.
6.7.b. La forme d’action. Soit α H la forme définie sur l’espace des lacets
contractiles LW de W par
(α H ) x (Y ) =
1
0
ω( ˙
x(t) − X t (x(t)), Y (t))dt.
C’est une forme fermée : on vérifie sans mal (exercice 26 page 477) que α H
est localement exacte.
Nous avons vu (c’est le calcul de dA H dans la proposition 6.3.4, voir
l’exercice 26) que, si la variété symplectique (W, ω) vérifie l’hypothèse 6.2.1,
la fonction A H est une primitive de α H , de sorte que α H est une forme
exacte.
Supprimons maintenant l’hypothèse 6.2.1 et considérons l’espace
DW = {(x, u) | x ∈ LW et u : D → W un prolongement au disque} .
(14) Pour la théorie des revêtements, nous renvoyons à [4].
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Donc π
α est une forme exacte : une primitive
f est définie en choisissant
un point y 0 ∈
V et en posant
f (y) =
y
y 0
π
α
en intégrant le long de n’importe quel chemin joignant y 0 à y, le résultat
n’en dépendant pas. Bien sûr d
f = π
α.
Le revêtement
V → V est « le plus petit revêtement
(14) de V sur lequel α
est exacte », appelé le revêtement d’intégration de α.
Comparons maintenant les points critiques de π
α et ceux de
f . Comme
(d
f ) y = 0 ⇐⇒ α π(y) = 0,
les points critiques sont les mêmes — ainsi que les propriétés de nondégénérescence et les indices.
Un champ de pseudo-gradients pour α (définition analogue à celle donnée dans le cas d’une fonction) se relève en un champ de pseudo-gradients
pour
f . Il est donc possible d’essayer de fabriquer un complexe avec les
points critiques de α comme nous l’avons fait au chapitre 3. C’est ce que
fait Latour dans [38]. La seule grosse différence est que
V n’a aucune raison
d’être compacte, elle ne l’est même jamais (si la forme α n’est pas exacte).
Pour comprendre la difficulté issue de cette généralisation, remarquons
que le champ de pseudo-gradients pour
f et les trajectoires entre deux zéros
d’indices consécutifs de α proviennent des trajectoires joignant les points de
π
−1 (c) à des points de π
−1 (d). Il peut donc y en avoir un nombre infini.
6.7.b. La forme d’action. Soit α H la forme définie sur l’espace des lacets
contractiles LW de W par
(α H ) x (Y ) =
1
0
ω( ˙
x(t) − X t (x(t)), Y (t))dt.
C’est une forme fermée : on vérifie sans mal (exercice 26 page 477) que α H
est localement exacte.
Nous avons vu (c’est le calcul de dA H dans la proposition 6.3.4, voir
l’exercice 26) que, si la variété symplectique (W, ω) vérifie l’hypothèse 6.2.1,
la fonction A H est une primitive de α H , de sorte que α H est une forme
exacte.
Supprimons maintenant l’hypothèse 6.2.1 et considérons l’espace
DW = {(x, u) | x ∈ LW et u : D → W un prolongement au disque} .
(14) Pour la théorie des revêtements, nous renvoyons à [4].