6.7. APPENDICE : FONCTIONS, FORMES FERMÉES, REVÊTEMENTS
163
6.7. Appendice : fonctions, formes fermées, revêtements
La question que nous considérons ici est : est-il possible d’étendre la
définition de la fonctionnelle d’action à des variétés symplectiques pour
lesquelles la forme symplectique ne s’annule pas sur le π 2 , autrement dit
est-il possible de se débarrasser de l’hypothèse 6.2.1 ?
Nous avons dit (remarque 6.3.1) que π 2 (W ) est le groupe fondamental
de la composante connexe LW de l’espace des lacets contenant le lacet
constant x 0 . Commençons donc par rappeler les relations entre groupe fondamental, revêtements et 1-formes fermées.
6.7.a. Revêtement associé à une forme fermée. Du point de vue local,
il n’y a aucune différence entre formes fermées et exactes, par exemple entre
une 1-forme fermée α et la différentielle d’une fonction f . D’après le lemme
de Poincaré
(13) en effet, toute forme fermée, c’est-à-dire telle que dα = 0, est
localement exacte, c’est-à-dire qu’il existe localement une fonction f telle
que α = df .
Globalement, c’est une autre histoire. Considérons par exemple (mais ce
n’est pas un exemple innocent) la 1-forme fermée (dont nous allons voir
qu’elle est improprement) appelée dθ (ou dz/iz) sur le cercle S
1 . Elle vérifie
S 1
dθ = 2π
et donc n’est pas exacte (il n’y a pas de fonction « θ », de détermination
de l’argument, sur le cercle). Par contre, la forme dθ relevée au revêtement
exp : R → S
1 est, elle, exacte : sur R, il y a bien une fonction θ.
Considérons plus généralement une 1-forme fermée α sur une variété V .
Comme α est fermée, elle définit un homomorphisme
ϕ α : π 1 (V ) −→ R
[γ] −→
γ
α
(nous supposons V connexe et n’indiquons pas le point base). Le noyau
de ϕ α est un sous-groupe (distingué) de π 1 (V ). Il lui correspond donc un
revêtement connexe (et galoisien) π :
V → V . Par définition, la forme π
α
a la propriété que
ϕ π α [γ] = 0 pour tout [γ] ∈ π 1
V .
(13) Voir par exemple [37, Chap. V].
163
6.7. Appendice : fonctions, formes fermées, revêtements
La question que nous considérons ici est : est-il possible d’étendre la
définition de la fonctionnelle d’action à des variétés symplectiques pour
lesquelles la forme symplectique ne s’annule pas sur le π 2 , autrement dit
est-il possible de se débarrasser de l’hypothèse 6.2.1 ?
Nous avons dit (remarque 6.3.1) que π 2 (W ) est le groupe fondamental
de la composante connexe LW de l’espace des lacets contenant le lacet
constant x 0 . Commençons donc par rappeler les relations entre groupe fondamental, revêtements et 1-formes fermées.
6.7.a. Revêtement associé à une forme fermée. Du point de vue local,
il n’y a aucune différence entre formes fermées et exactes, par exemple entre
une 1-forme fermée α et la différentielle d’une fonction f . D’après le lemme
de Poincaré
(13) en effet, toute forme fermée, c’est-à-dire telle que dα = 0, est
localement exacte, c’est-à-dire qu’il existe localement une fonction f telle
que α = df .
Globalement, c’est une autre histoire. Considérons par exemple (mais ce
n’est pas un exemple innocent) la 1-forme fermée (dont nous allons voir
qu’elle est improprement) appelée dθ (ou dz/iz) sur le cercle S
1 . Elle vérifie
S 1
dθ = 2π
et donc n’est pas exacte (il n’y a pas de fonction « θ », de détermination
de l’argument, sur le cercle). Par contre, la forme dθ relevée au revêtement
exp : R → S
1 est, elle, exacte : sur R, il y a bien une fonction θ.
Considérons plus généralement une 1-forme fermée α sur une variété V .
Comme α est fermée, elle définit un homomorphisme
ϕ α : π 1 (V ) −→ R
[γ] −→
γ
α
(nous supposons V connexe et n’indiquons pas le point base). Le noyau
de ϕ α est un sous-groupe (distingué) de π 1 (V ). Il lui correspond donc un
revêtement connexe (et galoisien) π :
V → V . Par définition, la forme π
α
a la propriété que
ϕ π α [γ] = 0 pour tout [γ] ∈ π 1
V .
(13) Voir par exemple [37, Chap. V].