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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
axe des x
axe des y
v 0
α
[0, 1, 0]
[0, 1, 0]
[0, 1, 0]
Figure 9
Pour α = 0, l’image est l’« axe des x ». Pour α = 0, c’est une conique. Toutes
les courbes images de v α contiennent le point à l’infini de l’axe des y, le point
[0, 1, 0] en coordonnées homogènes. Quand α tend vers 0, ce point tire une
bulle à lui. La figure 9 illustre cette situation en présentant divers états de
la conique v α (P
1 (C)) et la « courbe » limite, c’est-à-dire les deux axes des x
et des y, représentée
– une fois comme réunion de deux droites sécantes,
– une autre fois comme une « courbe à bulle », figure dans laquelle chacune des deux droites projectives complexes est représentée comme une
sphère S
2 .
Remarquons encore que
– la courbe limite n’est pas l’image d’une application v 0 : P
1 (C) →
P
2 (C) ;
– par contre, sur le complémentaire du point 0 = [0, 1], il y a bien une
limite, z → (z, 0) ;
– le cercle |z|
2 = α borde un disque (|z|
2 ≤ α) qui occupe de plus en plus
de place dans l’image. Voir la figure 10.
0
α
α
0
Figure 10