6.6. DÉMONSTRATION DE LA COMPACITÉ
161
et donc
(r)
2
≤ 2πrA
(r).
Il reste à vérifier que, la fonction r → A(r) étant bornée et dérivable, il
existe une suite r k tendant vers +∞ telle que lim r k A
(r k ) = 0. C’est un
exercice facile : comme A est bornée,
lim
k→+∞
A(k
2 ) − A(k)
ln k
= 0.
Mais ce rapport s’écrit aussi
A(k
2 ) − A(k)
ln k
=
A(k
2 ) − A(k)
ln k 2 − ln k
=
A
(r k )
(1/r k )
pour un r k compris entre k et k
2 (et donc tendant vers l’infini) en vertu du
théorème des accroissements finis.
Ce qui achève la démonstration de la proposition et donc aussi du théorème de compacité.
6.6.a. Un exemple de bulle dans P
2 (C). Nous venons de montrer que
le fait que la variété symplectique W ne contienne pas de sphère d’aire symplectique non nulle empêche la formation de bulles. Dans le cas contraire,
c’est-à-dire, si ω| π2(W ) = 0, un argument de type « singularité apparente »
permet de prolonger v à C ∪ {∞}, c’est ce qu’on appelle une « bulle ».
Pour clarifier la situation, montrons donc ici un exemple classique de
bulle, dans le plan projectif complexe. Remarquons que, dans cette variété
symplectique, il y a des sphères : une droite projective est un P
1 (C) et
donc aussi une sphère S
2 . De plus, la forme symplectique que nous avons
construite au § 5.3 donne une aire positive à toutes les droites projectives :
une droite projective est une courbe complexe (holomorphe) et en particulier, la forme symplectique se restreint en une forme volume sur une telle
courbe. Donc l’espace projectif complexe ne satisfait pas à notre hypothèse.
L’exemple présenté ici est le plus simple possible : on observe une famille
de coniques lisses dégénérant sur la réunion de deux droites.
Pour tout α ∈ C, considérons la courbe (conique)
v α : P
1 (C) −→ P
2 (C)
[x, y] −→ [x
2 , αy
2 , xy].
C’est simplement la complétion de
v α : C −→ C
2
z −→ (z, α/z) .
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et donc
(r)
2
≤ 2πrA
(r).
Il reste à vérifier que, la fonction r → A(r) étant bornée et dérivable, il
existe une suite r k tendant vers +∞ telle que lim r k A
(r k ) = 0. C’est un
exercice facile : comme A est bornée,
lim
k→+∞
A(k
2 ) − A(k)
ln k
= 0.
Mais ce rapport s’écrit aussi
A(k
2 ) − A(k)
ln k
=
A(k
2 ) − A(k)
ln k 2 − ln k
=
A
(r k )
(1/r k )
pour un r k compris entre k et k
2 (et donc tendant vers l’infini) en vertu du
théorème des accroissements finis.
Ce qui achève la démonstration de la proposition et donc aussi du théorème de compacité.
6.6.a. Un exemple de bulle dans P
2 (C). Nous venons de montrer que
le fait que la variété symplectique W ne contienne pas de sphère d’aire symplectique non nulle empêche la formation de bulles. Dans le cas contraire,
c’est-à-dire, si ω| π2(W ) = 0, un argument de type « singularité apparente »
permet de prolonger v à C ∪ {∞}, c’est ce qu’on appelle une « bulle ».
Pour clarifier la situation, montrons donc ici un exemple classique de
bulle, dans le plan projectif complexe. Remarquons que, dans cette variété
symplectique, il y a des sphères : une droite projective est un P
1 (C) et
donc aussi une sphère S
2 . De plus, la forme symplectique que nous avons
construite au § 5.3 donne une aire positive à toutes les droites projectives :
une droite projective est une courbe complexe (holomorphe) et en particulier, la forme symplectique se restreint en une forme volume sur une telle
courbe. Donc l’espace projectif complexe ne satisfait pas à notre hypothèse.
L’exemple présenté ici est le plus simple possible : on observe une famille
de coniques lisses dégénérant sur la réunion de deux droites.
Pour tout α ∈ C, considérons la courbe (conique)
v α : P
1 (C) −→ P
2 (C)
[x, y] −→ [x
2 , αy
2 , xy].
C’est simplement la complétion de
v α : C −→ C
2
z −→ (z, α/z) .