160
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
U
v(B r )
v(∂B r )
Figure 8. Une bulle
La deuxième intégrale converge, elle, vers l’aire de v(R
2 ), un nombre
non nul. C’est la contradiction recherchée. Les cercles concentriques ont des
longueurs de plus en plus petites, c’est pourquoi un tel objet est appelé une
bulle. Voir la figure 8.
Démonstration du lemme. Comme v est J-holomorphe, la forme v
ω est une
forme symplectique sur R
2 . Elle s’écrit donc
v
ω (ρ,θ) = f (ρ, θ)ρ dθ ∧ dρ
pour une fonction f positive. Comme v est J-holomorphe, cette forme symplectique, avec la structure presque complexe usuelle, donne une métrique
riemannienne sur R
2 qui est f (ρ, θ)(dρ
2 + ρ
2 dθ
2 ) et qui permet de calculer
la longueur (r) du bord v(∂B r ) :
(r) = r
2π
0
f (r, θ) dθ.
De même
A(r) =
Br
v
ω =
2π
0
r
0
f (ρ, θ)ρ dθ
dρ.
Ainsi,
A
(r) =
dA
dr
=
2π
0
f (r, θ)r dθ.
En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous obtenons
(r) = r
2π
0
f (r, θ) dθ ≤ r
2π
0
dθ
2π
0
f (r, θ) dθ
= r
2π
A (r)
r