6.6. DÉMONSTRATION DE LA COMPACITÉ
159
R
2
Figure 7
Démonstration.
R 2
v
ω =
R 2
ω
∂v
∂s
,
∂v
∂t
ds dt
=
R 2
ω
−J(v)
∂v
∂t
,
∂v
∂t
ds dt puisque
∂v
∂t
= −J(v)
∂v
∂s
=
R 2
ω
∂v
∂t
, J(v)
∂v
∂t
ds dt
=
R 2
∂v
∂t
2
ds dt < +∞
en utilisant l’estimation précédente. Par ailleurs cette aire n’est pas nulle
puisque v n’est pas constante.
Lemme 6.6.5. Il existe une suite r k tendant vers +∞ telle que la longueur
de l’image v(∂B(0, r k )) tende vers 0 quand k tend vers +∞.
Acceptons le lemme. Alors l’image du bord de la boule s’écrase sur un
point w 0 ∈ W . Pour k assez grand, elle est donc contenue dans une carte de
Darboux U de W . Dans U , la forme ω est une forme fermée sur R
2n , elle
admet une primitive, ω = dλ. Nous pouvons même supposer que U est une
boule fermée. La courbe v(∂B r ) est le bord d’un petit disque D r dans U .
La réunion de v(B r ) et de D r est une sphère S
2
r et nous avons, grâce à
l’hypothèse que les sphères ont une aire symplectique nulle,
0 =
S 2
r
ω =
Dr
ω +
v(Br)
ω.
La première intégrale est
Dr
ω =
Dr
dλ =
v(∂Br)
λ
donc
Dr
ω
≤
v(∂Br)
λ
≤ (v(∂B r )) sup
U
λ
( est la longueur) tend vers 0 quand r tend vers l’infini.