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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
une suite (u k ) d’éléments de M et une suite (s k , t k ) d’éléments de R
2 tels
que
lim
k→∞
grad (sk,tk) u k
= +∞.
Dans cette démonstration, nous considérons donc une suite divergente d’éléments de M et montrons qu’en fait, elle va converger vers quelque chose
dont l’existence est interdite par nos hypothèses, la bulle représentée sur les
figures 7 et 8.
Soit (ε k ) une suite de nombres positifs tendant vers 0 et telle que
lim
k
ε k
grad (sk,tk) u k
= +∞.
Appliquons à la fonction g = grad u le lemme ci-dessous
(11) , dit du « demimaximum ».
Lemme 6.6.3. Soit g : X → R
+ une fonction continue sur un espace métrique
complet. Soient x 0 ∈ X et ε 0 > 0. Il existe y ∈ X et ε ∈ ]0, ε 0 ] tels que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d(y, x 0 ) ≤ 2ε
εg(y) ≥ ε 0 g(x 0 )
g(x) ≤ 2g(y)
∀ x ∈ B(y, ε).
Démonstration du lemme. Si g(x) ≤ 2g(x 0 ) sur toute la boule B(x 0 , ε 0 ), il
n’y a rien à faire, il suffit de poser y = x 0 et ε = ε 0 . Sinon, il existe un x 1
dans la boule tel que g(x 1 ) > 2g(x 0 ). Posons ε 1 = ε 0 /2. Ainsi,
ε 1 g(x 1 ) > ε 0 g(x 0 ).
Si x 1 et ε 1 fonctionnent, nous nous arrêtons. Sinon, nous continuons. Nous
construisons ainsi une suite x n de points de la boule et une suite ε n de
nombres positifs tels que
⎧
⎨
⎩
ε n =
ε n−1
2
ε n g(x n ) ≥ ε 0 g(x 0 ).
Évidemment, la première ligne fait tendre ε n vers 0 et x n vers une limite
(notre espace est complet), de sorte que l’inégalité qui suit interdit au processus de continuer indéfiniment : on trouve un x n et un ε n qui conviennent
au bout d’un nombre fini d’essais.
(11) C’est un lemme classique dans la théorie. Il semble que la paternité en revienne à
Ekeland. Le début du chapitre iv de son livre [20] contient des variations sur ce thème.
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
une suite (u k ) d’éléments de M et une suite (s k , t k ) d’éléments de R
2 tels
que
lim
k→∞
grad (sk,tk) u k
= +∞.
Dans cette démonstration, nous considérons donc une suite divergente d’éléments de M et montrons qu’en fait, elle va converger vers quelque chose
dont l’existence est interdite par nos hypothèses, la bulle représentée sur les
figures 7 et 8.
Soit (ε k ) une suite de nombres positifs tendant vers 0 et telle que
lim
k
ε k
grad (sk,tk) u k
= +∞.
Appliquons à la fonction g = grad u le lemme ci-dessous
(11) , dit du « demimaximum ».
Lemme 6.6.3. Soit g : X → R
+ une fonction continue sur un espace métrique
complet. Soient x 0 ∈ X et ε 0 > 0. Il existe y ∈ X et ε ∈ ]0, ε 0 ] tels que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d(y, x 0 ) ≤ 2ε
εg(y) ≥ ε 0 g(x 0 )
g(x) ≤ 2g(y)
∀ x ∈ B(y, ε).
Démonstration du lemme. Si g(x) ≤ 2g(x 0 ) sur toute la boule B(x 0 , ε 0 ), il
n’y a rien à faire, il suffit de poser y = x 0 et ε = ε 0 . Sinon, il existe un x 1
dans la boule tel que g(x 1 ) > 2g(x 0 ). Posons ε 1 = ε 0 /2. Ainsi,
ε 1 g(x 1 ) > ε 0 g(x 0 ).
Si x 1 et ε 1 fonctionnent, nous nous arrêtons. Sinon, nous continuons. Nous
construisons ainsi une suite x n de points de la boule et une suite ε n de
nombres positifs tels que
⎧
⎨
⎩
ε n =
ε n−1
2
ε n g(x n ) ≥ ε 0 g(x 0 ).
Évidemment, la première ligne fait tendre ε n vers 0 et x n vers une limite
(notre espace est complet), de sorte que l’inégalité qui suit interdit au processus de continuer indéfiniment : on trouve un x n et un ε n qui conviennent
au bout d’un nombre fini d’essais.
(11) C’est un lemme classique dans la théorie. Il semble que la paternité en revienne à
Ekeland. Le début du chapitre iv de son livre [20] contient des variations sur ce thème.