6.6. DÉMONSTRATION DE LA COMPACITÉ
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Le lemme nous vend une (autre) suite ε k et une (autre) suite (s k , t k )
telles que
lim
k→∞
ε k
grad (s k ,t k ) u k
= +∞
2
grad (sk,tk) u k
≥
grad (s,t) u k
pour (s, t) ∈ B((s k , t k ), ε k ).
et
Posons R k =
grad (s k ,t k ) u k
, ainsi ε k R k → +∞ et
v k (s, t) = u k
(s, t)
R k
+ (s k , t k )
,
de sorte que
grad (s,t) v k =
1
R k
grad (s,t)
R k
+(sk,tk)
u k ,
en particulier, en (s, t) = (0, 0),
grad (0,0) v k =
1
R k
grad (s k ,t k ) u k .
Ainsi, par construction, grad (0,0) v k = 1 et, sur B(0, ε k R k ), nous avons
grad (s,t) v k
=
1
R k
grad (s,t)
R k
+(s k ,t k )
u k
≤
2
R k
grad (sk,tk) u k
≤ 2,
de sorte que le gradient est borné. Enfin, les u k sont des solutions, donc v k
satisfait à
∂v k
∂s
+ J(v k )
∂v k
∂t
+
1
R k
grad (t k +
t
R k
,v k ) H = 0.
Appliquons alors le théorème d’Ascoli, la suite v k tend (à extraction d’une
sous-suite près), vers une limite v dans C
0
loc (R
2 ; W ), qui est une solution
faible de l’équation de Floer (qui devient, à la limite, l’équation des courbes
pseudo-holomorphes). La régularité elliptique (encore la proposition 6.5.3)
assure que v est C
∞ et est une « vraie » solution, de plus,
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
grad (0,0) v
= 1, en particulier v n’est pas constante,
grad (s,t) v
≤ 2
pour tous (s, t) ∈ R
2 ,
∂v
∂s
+ J(v)
∂v
∂t
= 0, donc v est J-holomorphe.