6.6. DÉMONSTRATION DE LA COMPACITÉ
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6.6. Démonstration de la compacité
Nous démontrons maintenant le théorème 6.5.4. Comme nous l’avons
remarqué (remarques 6.4.1), dans le cas où H est nul, l’équation de Floer
n’est autre qu’une équation de Cauchy-Riemann, dont les solutions sont
tout simplement les courbes J-holomorphes de Gromov [35]. Le théorème
de compacité de Gromov (voir aussi [55]) reste vrai ici, en présence d’un
hamiltonien non nul. Pour ce paragraphe, nous suivons d’assez près l’exposé
de [41].
Remarque 6.6.1. Nous avons déjà utilisé l’hypothèse d’asphéricité 6.2.1 pour
définir la fonctionnelle d’action. Nous verrons que, pour obtenir la propriété
de compacité, c’est une hypothèse importante (nous expliquerons précisément à quel endroit nous l’utiliserons).
Le théorème est conséquence de la proposition suivante.
Proposition 6.6.2. Sous l’hypothèse 6.2.1 (c’est-à-dire [ω], π 2 (W ) = 0), il
existe une constante A > 0 telle que
∀ u ∈ M, ∀ (s, t) ∈ R × S
1 ,
grad (s,t) u
≤ A.
Démonstration du théorème. La stratégie est, comme ci-dessus, de montrer
que, étant donnée une suite u n ∈ M,
– d’abord, u n a une sous-suite qui converge vers u 0 dans C
0
loc (R × S
1 ; W ) ;
– puis la limite u 0 est de classe C
∞ et que c’est une solution de l’équation
de Floer ;
– et enfin u n tend bien vers u 0 dans C
∞ (R × S
1 ; W ).
La proposition 6.6.2 donne l’équicontinuité des éléments de M. Donc l’adhérence de M dans l’ensemble des applications continues de R × S
1 dans W
est compacte (toujours Ascoli), ce qui achève la première étape. La limite u 0
est différentiable, puisque la suite des (grad u n ) est uniformément bornée.
Ensuite, l’argument de régularité elliptique déjà utilisé ci-dessus (c’est-àdire la proposition 6.5.3) permet de réaliser les deux autres, en donnant le
fait que les solutions de notre équation aux dérivées partielles sont toujours
de classe C
∞ : sur M, les topologies C
0 et C
∞ coïncident. Donc M est aussi
compact pour la topologie C
∞ .
Démonstration de la proposition. Soit u : R × S
1
→ W une solution. Il sera
plus commode de la considérer comme une application (périodique en la
variable t) de R × R dans W , ce que nous ferons. Raisonnons par l’absurde
en supposant la conclusion de la proposition fausse. C’est dire qu’il existe
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6.6. Démonstration de la compacité
Nous démontrons maintenant le théorème 6.5.4. Comme nous l’avons
remarqué (remarques 6.4.1), dans le cas où H est nul, l’équation de Floer
n’est autre qu’une équation de Cauchy-Riemann, dont les solutions sont
tout simplement les courbes J-holomorphes de Gromov [35]. Le théorème
de compacité de Gromov (voir aussi [55]) reste vrai ici, en présence d’un
hamiltonien non nul. Pour ce paragraphe, nous suivons d’assez près l’exposé
de [41].
Remarque 6.6.1. Nous avons déjà utilisé l’hypothèse d’asphéricité 6.2.1 pour
définir la fonctionnelle d’action. Nous verrons que, pour obtenir la propriété
de compacité, c’est une hypothèse importante (nous expliquerons précisément à quel endroit nous l’utiliserons).
Le théorème est conséquence de la proposition suivante.
Proposition 6.6.2. Sous l’hypothèse 6.2.1 (c’est-à-dire [ω], π 2 (W ) = 0), il
existe une constante A > 0 telle que
∀ u ∈ M, ∀ (s, t) ∈ R × S
1 ,
grad (s,t) u
≤ A.
Démonstration du théorème. La stratégie est, comme ci-dessus, de montrer
que, étant donnée une suite u n ∈ M,
– d’abord, u n a une sous-suite qui converge vers u 0 dans C
0
loc (R × S
1 ; W ) ;
– puis la limite u 0 est de classe C
∞ et que c’est une solution de l’équation
de Floer ;
– et enfin u n tend bien vers u 0 dans C
∞ (R × S
1 ; W ).
La proposition 6.6.2 donne l’équicontinuité des éléments de M. Donc l’adhérence de M dans l’ensemble des applications continues de R × S
1 dans W
est compacte (toujours Ascoli), ce qui achève la première étape. La limite u 0
est différentiable, puisque la suite des (grad u n ) est uniformément bornée.
Ensuite, l’argument de régularité elliptique déjà utilisé ci-dessus (c’est-àdire la proposition 6.5.3) permet de réaliser les deux autres, en donnant le
fait que les solutions de notre équation aux dérivées partielles sont toujours
de classe C
∞ : sur M, les topologies C
0 et C
∞ coïncident. Donc M est aussi
compact pour la topologie C
∞ .
Démonstration de la proposition. Soit u : R × S
1
→ W une solution. Il sera
plus commode de la considérer comme une application (périodique en la
variable t) de R × R dans W , ce que nous ferons. Raisonnons par l’absurde
en supposant la conclusion de la proposition fausse. C’est dire qu’il existe