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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Démonstration. L’ensemble des points critiques de A H est fini (et non vide
comme nous l’avons remarqué page 147), donc A H est bornée sur cet ensemble
(9) . Après quoi il reste à utiliser
– que s → A H (u s ) est strictement décroissante
– et, pour u dans M, et pour des points critiques x et y comme dans
l’énoncé de la proposition 6.5.7 (c’est-à-dire tels que A H (u s ) va de A H (x)
à A H (y)), que
E(u) = A H (x) − A H (y).
Remarque 6.5.12. Le groupe additif R opère à droite sur M par
(u · σ)(s, t) = u(s + σ, t).
C’est dire que, si u est une solution de l’équation de Floer, alors u · σ en est
une aussi (vérification immédiate), comme dans le cas d’un flot de gradient.
Cette opération est continue, c’est-à-dire que si (u n ) tend vers u et (σ n )
tend vers σ, alors la suite (u n · σ n ) tend vers u · σ. Nous reviendrons plus
bas sur ses propriétés.
Pour démontrer le théorème 6.5.6, commençons par démontrer un lemme.
Lemme 6.5.13. Soit u ∈ M et soit (s k ) une suite de nombres réels tendant
vers +∞. Il existe une sous-suite (s k ) de (s k ) et un point critique y de A H
tels que
lim
k →+∞
u(s k ) = y.
Démonstration du lemme. Notons u k = u·s k . Comme M est compact (théorème 6.5.4 ci-dessus), il existe une sous-suite de (u k ) (que nous noterons
encore (u k )) qui converge vers un v ∈ M. C’est dire que, pour tout s ∈ R,
lim u k (s, t) = v(s, t). Fixons donc s 0 et notons v s0 (t) = v(s 0 , t). Nous avons
A H (v s0 ) = lim
k→+∞
A H (u s0+sk ) = lim
s→+∞
A H (u s ),
puisque nous avons vu dans la proposition 6.5.7 que cette limite existe (et
même que A H (u s ) tend vers une valeur critique). Donc l’énergie de la trajectoire v est nulle, et donc v est une orbite périodique y (c’est la remarque
6.5.2 (2) ci-dessus).
Pour finir, u k (0) = u sk tend vers v = y dans C
∞ (S
1 , W ).
Démonstration du théorème. Nous nous contenterons bien entendu d’étudier le cas où s → +∞. Rappelons que d ∞ désigne la distance C
∞ dans
(9) Voir aussi, en supprimant l’hypothèse de non-dégénérescence, l’exercice 30 page 478.
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Démonstration. L’ensemble des points critiques de A H est fini (et non vide
comme nous l’avons remarqué page 147), donc A H est bornée sur cet ensemble
(9) . Après quoi il reste à utiliser
– que s → A H (u s ) est strictement décroissante
– et, pour u dans M, et pour des points critiques x et y comme dans
l’énoncé de la proposition 6.5.7 (c’est-à-dire tels que A H (u s ) va de A H (x)
à A H (y)), que
E(u) = A H (x) − A H (y).
Remarque 6.5.12. Le groupe additif R opère à droite sur M par
(u · σ)(s, t) = u(s + σ, t).
C’est dire que, si u est une solution de l’équation de Floer, alors u · σ en est
une aussi (vérification immédiate), comme dans le cas d’un flot de gradient.
Cette opération est continue, c’est-à-dire que si (u n ) tend vers u et (σ n )
tend vers σ, alors la suite (u n · σ n ) tend vers u · σ. Nous reviendrons plus
bas sur ses propriétés.
Pour démontrer le théorème 6.5.6, commençons par démontrer un lemme.
Lemme 6.5.13. Soit u ∈ M et soit (s k ) une suite de nombres réels tendant
vers +∞. Il existe une sous-suite (s k ) de (s k ) et un point critique y de A H
tels que
lim
k →+∞
u(s k ) = y.
Démonstration du lemme. Notons u k = u·s k . Comme M est compact (théorème 6.5.4 ci-dessus), il existe une sous-suite de (u k ) (que nous noterons
encore (u k )) qui converge vers un v ∈ M. C’est dire que, pour tout s ∈ R,
lim u k (s, t) = v(s, t). Fixons donc s 0 et notons v s0 (t) = v(s 0 , t). Nous avons
A H (v s0 ) = lim
k→+∞
A H (u s0+sk ) = lim
s→+∞
A H (u s ),
puisque nous avons vu dans la proposition 6.5.7 que cette limite existe (et
même que A H (u s ) tend vers une valeur critique). Donc l’énergie de la trajectoire v est nulle, et donc v est une orbite périodique y (c’est la remarque
6.5.2 (2) ci-dessus).
Pour finir, u k (0) = u sk tend vers v = y dans C
∞ (S
1 , W ).
Démonstration du théorème. Nous nous contenterons bien entendu d’étudier le cas où s → +∞. Rappelons que d ∞ désigne la distance C
∞ dans
(9) Voir aussi, en supprimant l’hypothèse de non-dégénérescence, l’exercice 30 page 478.