6.5. ESPACE DES SOLUTIONS
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l’espace LW (voir le § 14.3.b). On considère, pour x point critique de A H ,
la boule ouverte
B(x, ε) = {γ ∈ LW | d ∞ (x, γ) < ε} .
Comme nous l’avons dit, les points critiques de A H sont en nombre fini
(10) ,
de sorte que pour ε > 0 assez petit, les boules B(x, ε) sont disjointes. Appelons U ε leur réunion (disjointe)
U ε =
x∈Crit AH
B(x, ε) ⊂ LW.
Pour tout ε assez petit, il existe un s ε tel que
u([s ε , +∞[ × S
1 ) ⊂ U ε
(si cette assertion n’était pas vraie, il existerait un ε 0 > 0 et une suite (s k )
tendant vers +∞ et telle que u s k ∈ U ε , mais d’après le lemme précédent,
une sous-suite de u sk doit tendre vers un point critique, ce qui serait une
contradiction).
Toujours d’après le lemme précédent, il existe un point critique de A H ,
y ∈ Crit A H tel que
u([s ε , +∞[ × S
1 ) ∩ B(y, ε) = ∅.
Comme u([s ε , +∞[ × ·) est connexe dans LW et comme les boules B(x, ε)
sont disjointes, on a
u([s ε , +∞[ × ·) ⊂ B(y, ε),
autrement dit, lim s→+∞ u(s) = y.
Il reste à démontrer l’assertion sur ∂u/∂s. Mais u est une solution donc
∂u
∂s
= −J
∂u
∂t
− grad u H t (u).
Lemme 6.5.14. Dans C
∞ (S
1 ; T W ), on a :
lim
s→+∞
∂u
∂t
= ˙
y.
Démonstration. Supposons le contraire. Il existe alors une suite s k tendant
vers +∞ telle que ∂u sk /∂t ne tend pas vers ˙
y quand k tend vers +∞. Posons
u k = u s+s k . Alors u k , y ∈ M et u k tend vers y au sens C
0 . La régularité
elliptique (proposition 6.5.3) implique alors que u k tend vers y au sens C
∞ ,
ce qui est une contradiction.
(10) C’est ici que sert l’hypothèse de non-dégénérescence.