6.5. ESPACE DES SOLUTIONS
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Les trajectoires tendent vers des points critiques. Montrons maintenant que
les trajectoires tendent bien vers des points critiques, c’est-à-dire le théorème 6.5.6. Le point important est le fait que l’espace M est compact, ce
que nous démontrerons plus bas (c’est le théorème 6.5.4).
s
x
u
y
X t
−∞
+∞
X t
Figure 6
Supposons donc ici que toutes les trajectoires périodiques de X t sont non
dégénérées.
Lemme 6.5.10. Sous l’hypothèse de non-dégénérescence, les points critiques
de A H , trajectoires périodiques de X t sont en nombre fini.
Démonstration. Ces points critiques sont les points d’intersection dans la
variété compacte W × W des deux sous-variétés (de dimension moitié 2n)
que sont
– la diagonale Δ = {(x, x) | x ∈ W }
– et le graphe du flot au temps 1 de X t .
L’hypothèse de non-dégénérescence est équivalente à la transversalité
(8) de
ces deux sous-variétés. Leur intersection est alors une sous-variété fermée
de dimension 0 de W , donc un nombre fini de points puisque celle-ci est
compacte.
Notons une conséquence de la proposition 6.5.7.
Corollaire 6.5.11. Il existe un réel C > 0 tel que, pour tout u ∈ M,
−C ≤ A H (u) ≤ C et 0 ≤ E(u) ≤ C.
(8) Comme en théorie de Morse, la non-dégénérescence se traduit en transversalité.