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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Premier temps. Soit u ∈ M. Comme
+∞
−∞
S 1
∂u
∂t
− X t (u)
2
dt
ds < +∞,
l’intégrale de la norme L
2 de ∂u/∂t−X t (u) est finie. Il existe donc une suite
(s k ) avec lim k→∞ s k = +∞ (resp. −∞) telle que
lim
k→∞
∂u
∂t
(s k , t) − X t (u(s k , t))
L 2
= 0.
Pour simplifier l’écriture, posons u sk = u k . Et pour simplifier la compréhension, remarquons que la norme qui figure dans les intégrales que nous
venons d’écrire est, en principe, la norme définie par J... mais la variété W
est compacte et plongée dans R
m , l’application tangente au plongement
a donc une norme opératorielle bornée pour la norme définie par J à la
source, et la norme euclidienne au but, ce qui fait que nous pouvons oublier
(comme nous l’avons fait en anticipant cette remarque) la dépendance en t
de la norme dans l’intégrale.
Nous avons donc
lim
k→+∞
1
0
˙
u k − X t (u k )
2 dt = 0
ou encore
lim
k→+∞
˙
u k − X t (u k ) L 2 (S 1 ;R m ) = 0.
Comme la variété W est compacte, X t (u(s k , t)) est borné et il existe donc
un B > 0 tel que
˙
u k L 2 ≤ B.
La famille (u k ) est donc équicontinue :
u k (t 1 ) − u k (t 0 ) =
t1
t0
˙
u k (t) dt
=
S 1
1 [t0,t1] ˙
u k
≤
√
t 1 − t 0 ˙
u k L 2 (par l’inégalité de Cauchy-Schwarz)
≤ B
√
t 1 − t 0 .
L’image de u k est contenue dans W qui est compacte. La suite u k est donc
justiciable du théorème d’Ascoli
(6) et nous concluons que la suite u k a bien
une limite y pour la topologie C
0 (S
1 ; R
m ), c’est-à-dire dans la topologie
C
0 (S
1 ; W ). Ce qui achève le premier pas de cette démonstration.
(6) Un énoncé en est rappelé au § 16.1.
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Premier temps. Soit u ∈ M. Comme
+∞
−∞
S 1
∂u
∂t
− X t (u)
2
dt
ds < +∞,
l’intégrale de la norme L
2 de ∂u/∂t−X t (u) est finie. Il existe donc une suite
(s k ) avec lim k→∞ s k = +∞ (resp. −∞) telle que
lim
k→∞
∂u
∂t
(s k , t) − X t (u(s k , t))
L 2
= 0.
Pour simplifier l’écriture, posons u sk = u k . Et pour simplifier la compréhension, remarquons que la norme qui figure dans les intégrales que nous
venons d’écrire est, en principe, la norme définie par J... mais la variété W
est compacte et plongée dans R
m , l’application tangente au plongement
a donc une norme opératorielle bornée pour la norme définie par J à la
source, et la norme euclidienne au but, ce qui fait que nous pouvons oublier
(comme nous l’avons fait en anticipant cette remarque) la dépendance en t
de la norme dans l’intégrale.
Nous avons donc
lim
k→+∞
1
0
˙
u k − X t (u k )
2 dt = 0
ou encore
lim
k→+∞
˙
u k − X t (u k ) L 2 (S 1 ;R m ) = 0.
Comme la variété W est compacte, X t (u(s k , t)) est borné et il existe donc
un B > 0 tel que
˙
u k L 2 ≤ B.
La famille (u k ) est donc équicontinue :
u k (t 1 ) − u k (t 0 ) =
t1
t0
˙
u k (t) dt
=
S 1
1 [t0,t1] ˙
u k
≤
√
t 1 − t 0 ˙
u k L 2 (par l’inégalité de Cauchy-Schwarz)
≤ B
√
t 1 − t 0 .
L’image de u k est contenue dans W qui est compacte. La suite u k est donc
justiciable du théorème d’Ascoli
(6) et nous concluons que la suite u k a bien
une limite y pour la topologie C
0 (S
1 ; R
m ), c’est-à-dire dans la topologie
C
0 (S
1 ; W ). Ce qui achève le premier pas de cette démonstration.
(6) Un énoncé en est rappelé au § 16.1.