6.5. ESPACE DES SOLUTIONS
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Remarque 6.5.5. Dans tout ce paragraphe, nous nous plaçons dans M. Nous
n’avons pas démontré que l’équation de Floer possède des solutions (attention, ce n’est pas un problème de Cauchy).
6.5.b. Les solutions d’énergie finie tendent vers des points
critiques. Nous allons montrer une réciproque à la dernière des remarques 6.5.2, précisément le théorème suivant.
Théorème 6.5.6. Supposons que toutes les trajectoires périodiques de X t sont
non dégénérées. Alors, pour tout u ∈ M, il existe deux points critiques x et y
de A H tels que
lim
s→−∞
u(s, ·) = x,
lim
s→+∞
u(s, ·) = y
dans C
∞ (S
1 ; W ). De plus,
lim
s→±∞
∂u
∂s
(s, t) = 0
uniformément en t.
Le long d’une trajectoire, la fonction tend vers une valeur critique.
Pour commencer, montrons un résultat plus faible.
Proposition 6.5.7. Soit u ∈ M. Il existe deux points critiques x et y de A H
tels que
lim
s→−∞
A H (u s ) = A H (x),
lim
s→+∞
A H (u s ) = A H (y).
Remarque 6.5.8. Une application évidente de cette proposition est le fait
que, si M n’est pas vide, alors A H a, en effet, des points critiques.
Démonstration. Nous nous contenterons du cas s → +∞, l’autre cas étant
analogue. La fonction (réelle de variable réelle) s → A H (u s ) est décroissante
(sa dérivée est l’opposé de la norme du gradient, qui est négative). Il suffit
donc de montrer qu’il existe un point critique y de A H et une suite s k de
réels tendant vers l’infini tels que
lim
k→+∞
A H (u s k ) = A H (y).
Ce que nous allons démontrer en trois temps :
(1) Il existe une suite s k telle que u sk converge pour la topologie
C
0 (S
1 ; W ) vers une limite y.
(2) Cette limite y est C
∞ et c’est un point critique de A H .
(3) A H (u s k ) tend bien vers A H (y).
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Remarque 6.5.5. Dans tout ce paragraphe, nous nous plaçons dans M. Nous
n’avons pas démontré que l’équation de Floer possède des solutions (attention, ce n’est pas un problème de Cauchy).
6.5.b. Les solutions d’énergie finie tendent vers des points
critiques. Nous allons montrer une réciproque à la dernière des remarques 6.5.2, précisément le théorème suivant.
Théorème 6.5.6. Supposons que toutes les trajectoires périodiques de X t sont
non dégénérées. Alors, pour tout u ∈ M, il existe deux points critiques x et y
de A H tels que
lim
s→−∞
u(s, ·) = x,
lim
s→+∞
u(s, ·) = y
dans C
∞ (S
1 ; W ). De plus,
lim
s→±∞
∂u
∂s
(s, t) = 0
uniformément en t.
Le long d’une trajectoire, la fonction tend vers une valeur critique.
Pour commencer, montrons un résultat plus faible.
Proposition 6.5.7. Soit u ∈ M. Il existe deux points critiques x et y de A H
tels que
lim
s→−∞
A H (u s ) = A H (x),
lim
s→+∞
A H (u s ) = A H (y).
Remarque 6.5.8. Une application évidente de cette proposition est le fait
que, si M n’est pas vide, alors A H a, en effet, des points critiques.
Démonstration. Nous nous contenterons du cas s → +∞, l’autre cas étant
analogue. La fonction (réelle de variable réelle) s → A H (u s ) est décroissante
(sa dérivée est l’opposé de la norme du gradient, qui est négative). Il suffit
donc de montrer qu’il existe un point critique y de A H et une suite s k de
réels tendant vers l’infini tels que
lim
k→+∞
A H (u s k ) = A H (y).
Ce que nous allons démontrer en trois temps :
(1) Il existe une suite s k telle que u sk converge pour la topologie
C
0 (S
1 ; W ) vers une limite y.
(2) Cette limite y est C
∞ et c’est un point critique de A H .
(3) A H (u s k ) tend bien vers A H (y).