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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Remarques 6.5.2.
(1) L’énergie est positive.
(2) L’énergie d’une solution est nulle si et seulement si ∂u/∂s est nulle,
c’est-à-dire si u ne dépend pas de s... et u est solution de l’équation de Floer,
c’est-à-dire si et seulement si u est un point critique de la fonctionnelle
d’action A H .
(3) Si la solution u considérée joint deux points critiques, c’est-à-dire s’il
existe x et y, points critiques de A H , tels que
lim
s→−∞
u s (t) = x,
lim
s→+∞
u s (t) = y,
alors
E(u) = A H (x) − A H (y) < +∞.
Les solutions qui joignent deux points critiques sont d’énergie finie.
Considérons donc l’espace M défini par
M =
u : R × S
1
→ W |
u est une solution contractile, C
∞ , et d’énergie finie} .
Pour éviter les problèmes de définition de la topologie sur cet espace, nous
considérerons toujours que la variété symplectique compacte W est plongée
dans un espace euclidien R
m (pour m assez grand). Nous utiliserons la
topologie C
∞ pour les applications de S
1 dans R
m et la topologie de la
convergence uniforme C
∞ sur les compacts de R × S
1 , avec les notations
C
∞ (S
1 , W ), C
∞ (S
1 ; R
m ), C
∞
loc (R × S
1 ; W ), C
∞
loc (R × S
1 ; R
m ).
Un puissant résultat de régularité elliptique (ici le lemme 12.1.1) permet
de démontrer l’indispensable propriété contenue dans la proposition que
voici.
Proposition 6.5.3. Toute solution de classe C
1 de l’équation de Floer est de
classe C
∞ . De plus, sur M, les topologies C
0
loc , C
1
loc et C
∞
loc coïncident.
Une propriété importante de cet espace M est sa compacité, une propriété
essentielle, que nous démontrons ci-dessous (au § 6.6) et que nous énonçons
ici :
Théorème 6.5.4. Supposons que la variété symplectique compacte (W, ω) satisfait à l’hypothèse 6.2.1, c’est-à-dire à
∀ f : S
2
−→ W,
S 2
f
ω = 0.
Alors, M est compact dans C
∞
loc (R × S
1 , W ).
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Remarques 6.5.2.
(1) L’énergie est positive.
(2) L’énergie d’une solution est nulle si et seulement si ∂u/∂s est nulle,
c’est-à-dire si u ne dépend pas de s... et u est solution de l’équation de Floer,
c’est-à-dire si et seulement si u est un point critique de la fonctionnelle
d’action A H .
(3) Si la solution u considérée joint deux points critiques, c’est-à-dire s’il
existe x et y, points critiques de A H , tels que
lim
s→−∞
u s (t) = x,
lim
s→+∞
u s (t) = y,
alors
E(u) = A H (x) − A H (y) < +∞.
Les solutions qui joignent deux points critiques sont d’énergie finie.
Considérons donc l’espace M défini par
M =
u : R × S
1
→ W |
u est une solution contractile, C
∞ , et d’énergie finie} .
Pour éviter les problèmes de définition de la topologie sur cet espace, nous
considérerons toujours que la variété symplectique compacte W est plongée
dans un espace euclidien R
m (pour m assez grand). Nous utiliserons la
topologie C
∞ pour les applications de S
1 dans R
m et la topologie de la
convergence uniforme C
∞ sur les compacts de R × S
1 , avec les notations
C
∞ (S
1 , W ), C
∞ (S
1 ; R
m ), C
∞
loc (R × S
1 ; W ), C
∞
loc (R × S
1 ; R
m ).
Un puissant résultat de régularité elliptique (ici le lemme 12.1.1) permet
de démontrer l’indispensable propriété contenue dans la proposition que
voici.
Proposition 6.5.3. Toute solution de classe C
1 de l’équation de Floer est de
classe C
∞ . De plus, sur M, les topologies C
0
loc , C
1
loc et C
∞
loc coïncident.
Une propriété importante de cet espace M est sa compacité, une propriété
essentielle, que nous démontrons ci-dessous (au § 6.6) et que nous énonçons
ici :
Théorème 6.5.4. Supposons que la variété symplectique compacte (W, ω) satisfait à l’hypothèse 6.2.1, c’est-à-dire à
∀ f : S
2
−→ W,
S 2
f
ω = 0.
Alors, M est compact dans C
∞
loc (R × S
1 , W ).