6.5. ESPACE DES SOLUTIONS
145
Remarquons que dans le cas Morse-sur-variété-compacte
(5) , si u : R → V
est une solution de l’équation différentielle
du
ds
+ X(u) = 0,
trajectoire du champ de pseudo-gradients X, on peut définir son énergie
E(u) = −
+∞
−∞
u
df.
Si u joint deux points critiques a et b au sens où lim s→−∞ u(s) = a et
lim s→+∞ u(s) = b, c’est simplement
E(u) = f (a) − f (b)
(le signe − dans la définition fait que l’énergie est positive, le point a est
au-dessus du point b pour la fonction f ).
Remarque 6.5.1 (formes fermées). Remarquons qu’il est possible de remplacer
la forme exacte df par une 1-forme fermée α dans cette définition. Nous
verrons au § 6.7 qu’il est encore possible de construire un champ de pseudogradients adapté, mais il est facile de se convaincre que toutes les trajectoires
d’un tel champ de vecteurs ne relient pas des zéros de la forme. Dans ce
cas, les trajectoires d’énergie finie sont exactement celles qui joignent deux
zéros de la forme. C’est aussi ce qui se passe pour la fonctionnelle d’action.
Dans le cas de la fonctionnelle d’action qui nous intéresse ici, définissons
l’énergie d’une solution de façon analogue, ce qui revient à intégrer le carré
de la norme du gradient le long d’une solution (d’où la terminologie) :
E(u) = −
+∞
−∞
d
ds
A H (u(s)) ds
= −
+∞
−∞
− −grad A H
2 ds
=
+∞
−∞
S 1
∂u
∂s
2
dt
ds
=
1
2
+∞
−∞
S 1
∂u
∂s
2
+
∂u
∂t
− X t (u)
2
dt
ds.
Remarquons que, comme u est une solution, les deux termes dans l’intégrale
sont égaux, on a donc
E(u) =
R×S 1
∂u
∂s
2
ds dt.
(5) Voir aussi l’exercice 27 page 477.