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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
(3) Si H t ≡ 0, l’équation est simplement
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
= 0,
c’est l’équation de Cauchy-Riemann, on dit que (s + it) → u(s, t) est une
courbe J-holomorphe.
6.5. Espace des solutions
Nous étudions ici des espaces de solutions de l’équation de Floer
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u) = 0.
Nous utilisons les deux points de vue schématisés sur la figure 5 : les solutions
de l’équation sur W sont aussi les trajectoires du champ de vecteurs grad A H
sur LW .
x
u
y
W
LW
y
x
u
Figure 5
6.5.a. Définition de l’énergie. Dans le cas d’une fonction et d’un champ
de pseudo-gradients adapté sur une variété V compacte sans bord, toutes
les trajectoires du champ de vecteurs joignent deux points critiques.
Ce n’est pas automatiquement le cas dans le contexte où nous nous
sommes placés. Pour faire comprendre les problèmes possibles, voici une
analogie. Si V est une variété à bord, il peut y avoir des trajectoires du
champ de pseudo-gradient qui arrivent en un point critique sans provenir
d’un point critique (ou inversement), parce qu’elles proviennent du bord. Les
trajectoires qui ne s’approchent pas du bord vérifient encore la propriété de
joindre deux points critiques.