6.4. LE GRADIENT, L’ÉQUATION DE FLOER
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s
u(s)
u(s, t)
Figure 4
de vecteurs X = X H (opposé du gradient, en cohérence avec ce qui précède),
sont donc les solutions
R −→ LW
s −→ u(s)
(où il est entendu que u(s) est, pour chaque s, un lacet, dont nous noterons
u(s, t) la valeur au temps t) de l’équation différentielle
∂u
∂s
= −J u(s,t)
∂u
∂t
− grad u(s,t) H t (u(s, t))
... ou, plus brièvement, de l’équation différentielle (aux dérivées partielles)
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u) = 0.
Cette équation est l’équation de Floer. Rappelons que ce sont ses solutions C
∞ , contractiles et périodiques de période 1 en t qui nous intéressent.
Remarques 6.4.1.
(1) Si H ne dépend pas de t, les solutions u qui n’en dépendent pas non
plus vérifient
du
ds
+ grad H(u) = 0.
Ce sont les trajectoires (de l’opposé) du gradient de H.
(2) En général, les solutions u qui ne dépendent pas de s vérifient
∂u
∂t
= J(u) grad H t (u) = X t (u).
C’est le fait (attendu) que les trajectoires stationnaires du flot du gradient
sont les solutions périodiques du système hamiltonien.