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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
6.4. Le gradient, l’équation de Floer
Comme dans le cas de Morse, nous avons besoin d’un champ de vecteurs
(celui dont les trajectoires vont définir la différentielle du complexe). Nous
allons utiliser le gradient pour une certaine métrique sur l’espace des lacets
contractiles LW . Attention, le gradient dépend de la métrique ; la souplesse
que nous aurons si nous devons changer de champ de vecteurs (penser à la
propriété de Smale au chapitre 2), c’est à travers les métriques (et donc les
structures presque complexes) que nous l’aurons.
Commençons par fixer une structures presque complexe J calibrée par ω
sur W (voir le § 5.5). Elle définit une métrique riemannienne g sur W , par
g(X, Y ) = ω(X, J(Y )).
Une métrique sur LW s’en déduit, par
Y, Z =
1
0
g(Y (t), Z(t)) dt
(ici, Y et Z désignent des champs de vecteurs définis le long d’un lacet x). Il
est clair en effet que cette formule définit une forme bilinéaire symétrique ;
comme g t est définie positive, cette forme vaut aussi
Y, Y =
1
0
g(Y (t), Y (t)) dt ≥ 0
avec égalité si et seulement si Y = 0, donc ·, ·· est définie positive. Elle
s’écrit encore
Y, Z =
1
0
ω x(t) (Y (t), J(Z(t))) dt.
Si f : LW → R est une fonction, son gradient est le champ de vecteurs
grad f défini par
grad x f, Y x =
1
0
g t ((grad x f )(t), Y (t)) dt
=
1
0
ω x(t) ((grad x f )(t), JY (t)) dt = (df ) x (Y ).
Comme nous avons aussi (voir le § 6.3.b)
(dA H ) x (Y ) =
1
0
ω x(t) ( ˙
x(t) − X t (x), Y (t)) dt,
le gradient de A H est
−X H (t) = (grad x A H )(t) = J x(t) ( ˙
x(t)) + grad x(t) H t
(le gradient de H t est calculé pour la métrique g). Les trajectoires du champ