6.3. LA FONCTIONNELLE D’ACTION
141
D’où nous déduisons que la différentielle (dA H ) x est nulle si et seulement si
ω( ˙
x(t) − X t (x), Y ) = 0 ∀ Y,
c’est-à-dire, grâce à la non-dégénérescence de ω, si et seulement si ˙
x = X t (x),
le résultat espéré.
Nous dirons que x est un point critique non dégénéré pour A H si c’est
une trajectoire non dégénérée (au sens explicité ci-dessus dans la définition 5.4.4).
Remarques 6.3.5 (cas d’un hamiltonien autonome).
(1) Nous avons vu que, si x est un point critique pour H, alors la trajectoire constante x est un point critique de A H (et que la réciproque est
vraie pour H « petit »).
(2) Nous avons vu aussi (c’est la proposition 5.4.5) que, si x est non
dégénéré pour A H , il l’est pour H (et que la réciproque est vraie pour H
« petit » — c’est la remarque 5.4.7).
(3) Si x est un point critique de A H et une trajectoire non constante,
alors il est dégénéré, puisque le champ X H est un point fixe de T x ϕ
1 .
La dernière remarque est que les valeurs de A H en deux points critiques
distincts (géométriquement distincts, au sens où ce sont deux trajectoires
géométriquement différentes) peuvent être supposées différentes, ce que nous
énonçons sous forme d’un lemme (qui sera utilisé plus bas).
Lemme 6.3.6. Si x et y sont des points critiques géométriquement distincts
de A H , il existe une fonction
H, proche de H pour la topologie C
2 , telle
que A
H
ait les mêmes points critiques que A H , avec des valeurs critiques
différentes.
Démonstration. Il suffit de modifier le hamiltonien H en lui ajoutant
une fonction H 0 , constante au voisinage des orbites 1-périodiques de X t ,
C
2 -petite et telle que, pour tous points critiques x et y distincts de A H ,
A H (x) + H 0 (x(0)) = A H (y) + H 0 (y(0).
Si H 0 est assez petit, les points critiques de A H+H0 sont ceux de A H et,
pour un point critique x, on a
A H+H0 (x) = A H (x) +
1
0
H 0 (x(t)) dt = A H (x) + H 0 (x(0)).
141
D’où nous déduisons que la différentielle (dA H ) x est nulle si et seulement si
ω( ˙
x(t) − X t (x), Y ) = 0 ∀ Y,
c’est-à-dire, grâce à la non-dégénérescence de ω, si et seulement si ˙
x = X t (x),
le résultat espéré.
Nous dirons que x est un point critique non dégénéré pour A H si c’est
une trajectoire non dégénérée (au sens explicité ci-dessus dans la définition 5.4.4).
Remarques 6.3.5 (cas d’un hamiltonien autonome).
(1) Nous avons vu que, si x est un point critique pour H, alors la trajectoire constante x est un point critique de A H (et que la réciproque est
vraie pour H « petit »).
(2) Nous avons vu aussi (c’est la proposition 5.4.5) que, si x est non
dégénéré pour A H , il l’est pour H (et que la réciproque est vraie pour H
« petit » — c’est la remarque 5.4.7).
(3) Si x est un point critique de A H et une trajectoire non constante,
alors il est dégénéré, puisque le champ X H est un point fixe de T x ϕ
1 .
La dernière remarque est que les valeurs de A H en deux points critiques
distincts (géométriquement distincts, au sens où ce sont deux trajectoires
géométriquement différentes) peuvent être supposées différentes, ce que nous
énonçons sous forme d’un lemme (qui sera utilisé plus bas).
Lemme 6.3.6. Si x et y sont des points critiques géométriquement distincts
de A H , il existe une fonction
H, proche de H pour la topologie C
2 , telle
que A
H
ait les mêmes points critiques que A H , avec des valeurs critiques
différentes.
Démonstration. Il suffit de modifier le hamiltonien H en lui ajoutant
une fonction H 0 , constante au voisinage des orbites 1-périodiques de X t ,
C
2 -petite et telle que, pour tous points critiques x et y distincts de A H ,
A H (x) + H 0 (x(0)) = A H (y) + H 0 (y(0).
Si H 0 est assez petit, les points critiques de A H+H0 sont ceux de A H et,
pour un point critique x, on a
A H+H0 (x) = A H (x) +
1
0
H 0 (x(t)) dt = A H (x) + H 0 (x(0)).