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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Ainsi
(dA H ) x (Y ) =
∂
∂s
A H ( x)| s=0 .
Évaluons donc cette dérivée.
x
u
x
Y
x
u
Figure 3
Pour cela, choisissons un prolongement de u en
u(s, z) de façon que
u(0, z) = u(z)
u(s, e
2iπt ) =
x(s, t)
et prolongeons Y en posant
Y (z) =
∂ u
∂s
(0, z).
Nous avons alors
A H ( x(s, t)) = −
D
u
ω +
1
0
H t ( x(s, t)) dt.
Dériver le premier terme donne
−
D
d
ds
u
ω
| s=0 = −
D
u
(L Y (z) ω) = −
D
u
(di Y (z) ω)
= −
S 1
x
(i Y (t) ω) = −
1
0
ω(Y (t), ˙
x(t)) dt
=
1
0
ω( ˙
x(t), Y (t)) dt.
Dériver le second donne
1
0
∂
∂s
H t ( x(s, t))| s=0 dt = −
1
0
(dH t ) x(0,t) (Y (t)) dt
=
1
0
ω x(t) (Y (t), X t (x(t)) dt.
Nous obtenons donc finalement
(dA H ) x (Y ) =
1
0
ω( ˙
x(t) − X t (x), Y ) dt.