6.3. LA FONCTIONNELLE D’ACTION
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où w est définie en recollant les deux disques le long de leur bord commun
(figure 2). L’hypothèse 6.2.1 signifie que la classe de cohomologie de de Rham
de la forme symplectique ω s’annule sur le π 2 , ce qui s’écrit aussi, nous
l’avons dit,
ω, π 2 (W ) = 0.
Elle est vérifiée, en particulier, si π 2 (W ) = 0, c’est-à-dire si LW est simplement connexe (voir aussi le § 6.7, appendice à ce chapitre). En conclusion,
sous l’hypothèse 6.2.1, la fonctionnelle A H est bien définie.
Exemple 6.3.2. Considérons par exemple le cas où W = R
2n , avec la forme
symplectique
ω =
dp i ∧ dq i = d
p i dq i .
Alors, sur n’importe quel disque dont le bord est notre lacet x,
D 2
u
ω =
S 1
x
(pdq),
de sorte que
A H (x) =
1
0
(H t dt − pdq)
... l’intégrale d’action des physiciens
(4) .
Remarque 6.3.3. Il y a bien d’autres variétés symplectiques que R
2n qui
satisfont à l’hypothèse faite, les tores T
2n , les surfaces de genre au moins 1,
les cotangents (en vertu de l’exercice 4 page 470). Mais, ni la sphère S
2 ni
aucun de ses cousins P
n (C) n’ont cette propriété (en vertu cette fois de
l’exercice 5 (page 470)).
Sous notre hypothèse, A H définit bien une application
LW −→ R.
Et nous avons :
Proposition 6.3.4. Un lacet x est un point critique de A H si et seulement si
t → x(t) est une solution périodique du système hamiltonien ˙
x = X t (x(t)).
Démonstration de la proposition. Calculons la différentielle de A H , au point
x(t), sur un vecteur tangent Y (t). On prolonge x en
x(s, t), définie pour s
dans un voisinage de 0, de façon que
⎧
⎨
⎩
x(0, t) = x(t)
∂ x
∂s
(0, t) = Y (t).
(4) C’est la raison pour laquelle cette fonctionnelle s’appelle A H .
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où w est définie en recollant les deux disques le long de leur bord commun
(figure 2). L’hypothèse 6.2.1 signifie que la classe de cohomologie de de Rham
de la forme symplectique ω s’annule sur le π 2 , ce qui s’écrit aussi, nous
l’avons dit,
ω, π 2 (W ) = 0.
Elle est vérifiée, en particulier, si π 2 (W ) = 0, c’est-à-dire si LW est simplement connexe (voir aussi le § 6.7, appendice à ce chapitre). En conclusion,
sous l’hypothèse 6.2.1, la fonctionnelle A H est bien définie.
Exemple 6.3.2. Considérons par exemple le cas où W = R
2n , avec la forme
symplectique
ω =
dp i ∧ dq i = d
p i dq i .
Alors, sur n’importe quel disque dont le bord est notre lacet x,
D 2
u
ω =
S 1
x
(pdq),
de sorte que
A H (x) =
1
0
(H t dt − pdq)
... l’intégrale d’action des physiciens
(4) .
Remarque 6.3.3. Il y a bien d’autres variétés symplectiques que R
2n qui
satisfont à l’hypothèse faite, les tores T
2n , les surfaces de genre au moins 1,
les cotangents (en vertu de l’exercice 4 page 470). Mais, ni la sphère S
2 ni
aucun de ses cousins P
n (C) n’ont cette propriété (en vertu cette fois de
l’exercice 5 (page 470)).
Sous notre hypothèse, A H définit bien une application
LW −→ R.
Et nous avons :
Proposition 6.3.4. Un lacet x est un point critique de A H si et seulement si
t → x(t) est une solution périodique du système hamiltonien ˙
x = X t (x(t)).
Démonstration de la proposition. Calculons la différentielle de A H , au point
x(t), sur un vecteur tangent Y (t). On prolonge x en
x(s, t), définie pour s
dans un voisinage de 0, de façon que
⎧
⎨
⎩
x(0, t) = x(t)
∂ x
∂s
(0, t) = Y (t).
(4) C’est la raison pour laquelle cette fonctionnelle s’appelle A H .