138
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
de sorte qu’il est naturel de considérer un vecteur tangent à LW en x
comme un champ de vecteurs tangent à W défini le long de x, c’est-à-dire
une section Y de x
T W ,
Y (t) ∈ T x(t) W pour tout t ∈ S
1 .
On peut aussi penser à Y comme à une application
Y : R −→ T W telle que
Y (t) ∈ T x(t) W
Y (t + 1) = Y (t)
∀ t ∈ R
(voir aussi l’exercice 24 page 476).
Une 1-forme α, par exemple la différentielle d’une fonction, définit une
forme linéaire sur l’ensemble de ces vecteurs tangents en x.
6.3.b. La fonctionnelle d’action. Maintenant, W est une variété munie
d’une forme symplectique ω et H est un hamiltonien dépendant du temps,
W × R −→ R
(x, t) −→ H t (x)
dont nous supposons, comme la remarque 6.1.3 nous le permet, qu’il est
périodique en t, c’est-à-dire tel que
H t+1 (x) = H t (x) ∀ t ∈ R.
Considérons l’expression
A H (x) = −
D
u
ω +
1
0
H t (x(t)) dt
où u est un prolongement de x : S
1
→ W au disque, c’est-à-dire une application D = {z ∈ C | |z| ≤ 1} → W telle que u(e
2iπt ) = x(t).
x
u
v
w
x
x
Figure 2
La deuxième intégrale est bien définie mais la première dépend a priori
du choix de u. Si v est un autre prolongement, alors
D
u
ω −
D
v
ω =
S 2
w
ω