6.3. LA FONCTIONNELLE D’ACTION
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Groupe fondamental. Fixons un point base dans l’espace de lacets, le lacet
constant égal à un point x 0 choisi dans W , lacet que nous notons encore x 0 .
Un lacet de base x 0 dans LW est une application
γ : [0, 1] × S
1
−→ W
(s, t) −→ γ(s, t)
avec
γ(0, t) = γ(1, t) = x 0 (t) = x 0 .
Ce qui peut être considéré comme une application
γ : S
2
→ W (figure 1).
0
1
t
Figure 1
Remarque 6.3.1. De même que le π 0 de l’espace de tous les lacets libres est
le π 1 de la variété
(3) W , le π 1 de la composante LW que nous considérons
est le π 2 de W .
Structure de variété, espace tangent. Il est naturel de traiter LW comme
une variété. Dans un premier temps, nous n’aurons guère besoin d’expliciter
cette structure de variété : elle est utilisée ici de façon assez formelle, les
équations et le travail se passent dans W . Pour préparer les considérations
du chapitre 8, nous la décrivons à la fin de ce chapitre (au § 6.8). Pour le
moment, la seule chose à comprendre est ce qu’est un vecteur tangent en
un point x ∈ LW . Si un vecteur tangent en x est considéré comme une
classe d’équivalence de courbes passant par x, il faut considérer une courbe
s → u(s) ∈ LW avec u(0) = x, soit ici
R × S
1
−→ W
(s, t) −→ u(s, t) avec u(0, t) = x(t).
Nous avons alors
∂
∂s
u(s, t)| s=0 ∈ T x(t) W,
(3) Plus précisément, π 0 (L) = π 1 (W )/conjugaison (puisque les lacets sont libres).