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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Cette hypothèse est parfois appelée, dans la littérature, « asphéricité symplectique » (la forme symplectique est nulle sur les sphères). Elle peut s’exprimer sous la forme
ω, π 2 (W ) = 0.
Hypothèse 6.2.2. Pour toute application C
∞ , w : S
2
→ W , il existe une
trivialisation symplectique du fibré w
T W .
Cette hypothèse peut aussi s’exprimer sous la forme
c 1 (T W ), π 2 (W ) = 0,
où c 1 (T W ) désigne la première classe de Chern du fibré vectoriel complexe
T W (voir le § 15.2).
Ces deux hypothèses sont vérifiées, par exemple, quand toutes les applications de S
2 dans W se prolongent à la boule B
3 , c’est-à-dire quand
π 2 (W ) = 0.
6.3. La fonctionnelle d’action
6.3.a. Espace de lacets. Nous recherchons des trajectoires périodiques
d’un certain champ de vecteurs, en particulier des applications C
∞
x : R/Z −→ W.
Nous allons donc devoir considérer l’espace de ces applications (à la place
de la variété V ).
La composante connexe des points fixes. Bien entendu, l’espace de tous les
lacets n’est en général pas connexe : il est bien clair que deux lacets qui ne
sont pas homotopes ne sont pas dans la même composante connexe. Nous
allons donc nous restreindre à une composante connexe, et il est naturel
de considérer celle qui contient les lacets constants, puisque ceux-ci correspondent aux points critiques dans le cas autonome. Appelons donc LW
l’espace des lacets contractiles sur la variété W , c’est-à-dire des applications
de classe C
∞
x : S
1
−→ W
(des lacets libres
(2) ) homotopes à l’application constante.
Cet espace est muni de la topologie C
∞ et d’une distance d ∞ qui définit
cette topologie (voir au besoin le § 14.3.b). Il est bien connexe par arcs (on
relie chaque lacet au lacet constant par un chemin qui est une homotopie
entre les deux).
(2) C’est dire que le point base des lacets n’est pas imposé. De même, les homotopies entre
ces lacets sont libres.
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Cette hypothèse est parfois appelée, dans la littérature, « asphéricité symplectique » (la forme symplectique est nulle sur les sphères). Elle peut s’exprimer sous la forme
ω, π 2 (W ) = 0.
Hypothèse 6.2.2. Pour toute application C
∞ , w : S
2
→ W , il existe une
trivialisation symplectique du fibré w
T W .
Cette hypothèse peut aussi s’exprimer sous la forme
c 1 (T W ), π 2 (W ) = 0,
où c 1 (T W ) désigne la première classe de Chern du fibré vectoriel complexe
T W (voir le § 15.2).
Ces deux hypothèses sont vérifiées, par exemple, quand toutes les applications de S
2 dans W se prolongent à la boule B
3 , c’est-à-dire quand
π 2 (W ) = 0.
6.3. La fonctionnelle d’action
6.3.a. Espace de lacets. Nous recherchons des trajectoires périodiques
d’un certain champ de vecteurs, en particulier des applications C
∞
x : R/Z −→ W.
Nous allons donc devoir considérer l’espace de ces applications (à la place
de la variété V ).
La composante connexe des points fixes. Bien entendu, l’espace de tous les
lacets n’est en général pas connexe : il est bien clair que deux lacets qui ne
sont pas homotopes ne sont pas dans la même composante connexe. Nous
allons donc nous restreindre à une composante connexe, et il est naturel
de considérer celle qui contient les lacets constants, puisque ceux-ci correspondent aux points critiques dans le cas autonome. Appelons donc LW
l’espace des lacets contractiles sur la variété W , c’est-à-dire des applications
de classe C
∞
x : S
1
−→ W
(des lacets libres
(2) ) homotopes à l’application constante.
Cet espace est muni de la topologie C
∞ et d’une distance d ∞ qui définit
cette topologie (voir au besoin le § 14.3.b). Il est bien connexe par arcs (on
relie chaque lacet au lacet constant par un chemin qui est une homotopie
entre les deux).
(2) C’est dire que le point base des lacets n’est pas imposé. De même, les homotopies entre
ces lacets sont libres.