6.2. STRATÉGIE DE LA DÉMONSTRATION, HOMOLOGIE DE FLOER
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(2) Avec ces points critiques, nous allons fabriquer un complexe, en considérant d’abord simplement les espaces vectoriels sur Z/2 qu’ils engendrent.
Pour définir une graduation sur ces espaces, il nous faudra un analogue de
l’indice d’un point critique, que nous définirons au chapitre 7 et qui sera
l’indice au sens de Morse (à un décalage près) lorsque le hamiltonien ne
dépendra pas du temps (corollaire 7.2.2).
(3) Pour définir la différentielle du complexe, nous utiliserons un champ
de vecteurs, le gradient (ou son opposé) de la fonctionnelle, que nous décrirons, avec la métrique qui le définit, au § 6.4.
(4) L’idée ensuite est de « compter » ses trajectoires. Nous mettrons en
évidence au § 6.5.a une propriété, l’énergie finie, qui est automatique pour
un pseudo-gradient sur une variété compacte, et qui sera utile ici.
(5) Nous montrerons que les trajectoires d’énergie finie joignent bien
deux points critiques, c’est-à-dire le théorème 6.5.6, au § 6.5.b.
(6) Comme dans le cas de Morse (§ 3.2.b), nous aurons besoin d’une
propriété de compacité de l’espace des trajectoires d’énergie finie, le théorème 6.5.4.
(7) Et bien sûr, nous aurons besoin que ces espaces de trajectoires soient
des variétés, une propriété de généricité, telle que la propriété de Smale
pour un champ assez proche (le théorème 2.2.5), ce que nous réaliserons au
chapitre 8.
(8) La différentielle du supposé complexe ainsi définie, il nous faudra
encore vérifier que ∂ ◦ ∂ = 0. Pour le cas de Morse, nous avons utilisé
une propriété de recollement (au § 3.2.c). Nous démontrerons une propriété
analogue au chapitre 9.
(9) Nous montrerons, par les mêmes méthodes qu’au § 3.4, que l’homologie du complexe enfin défini ne dépend ni de la fonctionnelle ni du champ
de vecteurs choisis.
(10) Et enfin, en considérant le cas d’un hamiltonien autonome C
2 -petit,
cette indépendance nous donnera le fait que l’homologie ainsi construite,
l’homologie de Floer, coïncide avec l’homologie de Morse de la variété. L’évidente inégalité de dimensions entre la dimension des espaces vectoriels intervenant dans le complexe donnera donc le résultat escompté, de façon
complètement analogue aux inégalités de Morse (la proposition 4.4.3).
Les hypothèses. Nous ferons, sur la variété symplectique W , les deux
hypothèses suivantes :
Hypothèse 6.2.1. Pour toute application C
∞ , w : S
2
→ W ,
S 2
w
ω = 0.
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(2) Avec ces points critiques, nous allons fabriquer un complexe, en considérant d’abord simplement les espaces vectoriels sur Z/2 qu’ils engendrent.
Pour définir une graduation sur ces espaces, il nous faudra un analogue de
l’indice d’un point critique, que nous définirons au chapitre 7 et qui sera
l’indice au sens de Morse (à un décalage près) lorsque le hamiltonien ne
dépendra pas du temps (corollaire 7.2.2).
(3) Pour définir la différentielle du complexe, nous utiliserons un champ
de vecteurs, le gradient (ou son opposé) de la fonctionnelle, que nous décrirons, avec la métrique qui le définit, au § 6.4.
(4) L’idée ensuite est de « compter » ses trajectoires. Nous mettrons en
évidence au § 6.5.a une propriété, l’énergie finie, qui est automatique pour
un pseudo-gradient sur une variété compacte, et qui sera utile ici.
(5) Nous montrerons que les trajectoires d’énergie finie joignent bien
deux points critiques, c’est-à-dire le théorème 6.5.6, au § 6.5.b.
(6) Comme dans le cas de Morse (§ 3.2.b), nous aurons besoin d’une
propriété de compacité de l’espace des trajectoires d’énergie finie, le théorème 6.5.4.
(7) Et bien sûr, nous aurons besoin que ces espaces de trajectoires soient
des variétés, une propriété de généricité, telle que la propriété de Smale
pour un champ assez proche (le théorème 2.2.5), ce que nous réaliserons au
chapitre 8.
(8) La différentielle du supposé complexe ainsi définie, il nous faudra
encore vérifier que ∂ ◦ ∂ = 0. Pour le cas de Morse, nous avons utilisé
une propriété de recollement (au § 3.2.c). Nous démontrerons une propriété
analogue au chapitre 9.
(9) Nous montrerons, par les mêmes méthodes qu’au § 3.4, que l’homologie du complexe enfin défini ne dépend ni de la fonctionnelle ni du champ
de vecteurs choisis.
(10) Et enfin, en considérant le cas d’un hamiltonien autonome C
2 -petit,
cette indépendance nous donnera le fait que l’homologie ainsi construite,
l’homologie de Floer, coïncide avec l’homologie de Morse de la variété. L’évidente inégalité de dimensions entre la dimension des espaces vectoriels intervenant dans le complexe donnera donc le résultat escompté, de façon
complètement analogue aux inégalités de Morse (la proposition 4.4.3).
Les hypothèses. Nous ferons, sur la variété symplectique W , les deux
hypothèses suivantes :
Hypothèse 6.2.1. Pour toute application C
∞ , w : S
2
→ W ,
S 2
w
ω = 0.