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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
L’hypothèse dX H L 2 < 2π donne avec ¨
x = (dX H ) x · ˙
x,
¨ x L 2 < 2π ˙
x L 2 si ˙
x = 0,
donc ˙
x = 0 et x est constante.
En réalité, cette proposition vaut plus généralement pour un champ de
vecteurs, pas nécessairement hamiltonien, mais de constante de Lipschitz
strictement inférieure à 2π. De même, la proposition qui suit reste vraie
pour un champ de vecteurs C
1 -petit.
Proposition 6.1.6. Soit W une variété symplectique compacte et soit H :
W → R une fonction. Si H est assez petit au sens C
2 , alors les seules
solutions de période 1 du système hamiltonien associé à H sont les solutions
constantes.
Démonstration. Remarquons d’abord que, pour un champ hamiltonien X H
sur un disque D
2n
⊂ R
2n ,
∀ x ∈ D
2n , ∀ t ∈ [0, 1],
ϕ
t (x) − x
≤ sup
y∈D 2n
X H (y)
en vertu de l’inégalité des accroissements finis.
Il s’en suit que, si H : W → R est suffisamment petit au sens C
2 , il existe
un recouvrement fini de la variété compacte W par des cartes de Darboux
relativement compactes telles que
– chaque trajectoire de période 1 est contenue dans une carte ;
– sur chaque carte (et pour la métrique de R
2n ), dX H < 2π.
Appliquons alors la proposition précédente dans chaque carte.
6.2. Stratégie de la démonstration, homologie de Floer
L’outil principal que nous allons utiliser pour démontrer la conjecture
d’Arnold (avec une hypothèse restrictive) est l’homologie de Floer : l’idée
de Floer [23, 22, 24, 25] est de « compter » les solutions périodiques de H,
ou les points fixes de son flot au temps 1, de minorer leur nombre, de façon
analogue à celle qui nous a permis de minorer le nombre de points critiques
d’une fonction de Morse sur une variété (dans la proposition 4.4.3).
(1) Nous allons donc d’abord définir une « fonction », la fonctionnelle
d’action (au § 6.3) sur un espace convenable (qui pourra être considéré
comme une variété de dimension infinie, voir le § 6.3.a). Les points critiques
de cette fonctionnelle seront exactement les solutions périodiques recherchées.
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
L’hypothèse dX H L 2 < 2π donne avec ¨
x = (dX H ) x · ˙
x,
¨ x L 2 < 2π ˙
x L 2 si ˙
x = 0,
donc ˙
x = 0 et x est constante.
En réalité, cette proposition vaut plus généralement pour un champ de
vecteurs, pas nécessairement hamiltonien, mais de constante de Lipschitz
strictement inférieure à 2π. De même, la proposition qui suit reste vraie
pour un champ de vecteurs C
1 -petit.
Proposition 6.1.6. Soit W une variété symplectique compacte et soit H :
W → R une fonction. Si H est assez petit au sens C
2 , alors les seules
solutions de période 1 du système hamiltonien associé à H sont les solutions
constantes.
Démonstration. Remarquons d’abord que, pour un champ hamiltonien X H
sur un disque D
2n
⊂ R
2n ,
∀ x ∈ D
2n , ∀ t ∈ [0, 1],
ϕ
t (x) − x
≤ sup
y∈D 2n
X H (y)
en vertu de l’inégalité des accroissements finis.
Il s’en suit que, si H : W → R est suffisamment petit au sens C
2 , il existe
un recouvrement fini de la variété compacte W par des cartes de Darboux
relativement compactes telles que
– chaque trajectoire de période 1 est contenue dans une carte ;
– sur chaque carte (et pour la métrique de R
2n ), dX H < 2π.
Appliquons alors la proposition précédente dans chaque carte.
6.2. Stratégie de la démonstration, homologie de Floer
L’outil principal que nous allons utiliser pour démontrer la conjecture
d’Arnold (avec une hypothèse restrictive) est l’homologie de Floer : l’idée
de Floer [23, 22, 24, 25] est de « compter » les solutions périodiques de H,
ou les points fixes de son flot au temps 1, de minorer leur nombre, de façon
analogue à celle qui nous a permis de minorer le nombre de points critiques
d’une fonction de Morse sur une variété (dans la proposition 4.4.3).
(1) Nous allons donc d’abord définir une « fonction », la fonctionnelle
d’action (au § 6.3) sur un espace convenable (qui pourra être considéré
comme une variété de dimension infinie, voir le § 6.3.a). Les points critiques
de cette fonctionnelle seront exactement les solutions périodiques recherchées.