6.1. LA CONJECTURE D’ARNOLD
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Il y a mille variantes. Comme celle qui remplace points fixes de difféomorphismes symplectiques par points d’intersection de sous-variétés lagrangiennes...
La coutume est de dresser une liste chronologique des résultats obtenus.
La conjecture est désormais démontrée en toute généralité (sous sa forme homologique), de nombreux mathématiciens ont contribué à cette démonstration. Par ordre chronologique et dans la crainte d’oublier des contributions,
tentons une liste, Eliashberg pour la dimension 2, Conley et Zehnder pour
les tores. C’est ensuite la révolution de Floer, pour les variétés asphériques
(π 2 = 0) puis pour les variétés monotones (ce qui inclut les espaces projectifs complexes), dont les méthodes ont été ensuite étendues et exploitées par
Hofer, Salamon et, indépendamment par Ono pour le cas faiblement monotone, puis par Fukaya et Ono, par Liu et Tian et par Hofer et Salamon pour
le cas général. Renvoyons au survol [60] de Salamon pour des références
précises à ces travaux.
Démonstration pour un hamiltonien indépendant du temps et
« petit ». Ce résultat n’est pas qu’un exemple où la conjecture se démontre
facilement. Il jouera un rôle essentiel dans le calcul de l’homologie de Floer
au chapitre 10.
Proposition 6.1.5. Soit H une fonction sur R
2n , de sorte que X H est un
champ de vecteurs sur R
2n . Si dX H L 2 < 2π, les seules solutions de
période 1 du système hamiltonien associé à H sont les solutions constantes
(points critiques de H).
Remarquons ici que, lorsque le hamiltonien H est « C
2 -petit », démontrer
l’inégalité contenue dans la conjecture d’Arnold revient à démontrer les
inégalités de Morse (voir la remarque 5.4.7).
Démonstration. Nous reprenons ici la démonstration donnée dans [41].
Considérons une solution x de période 1 et développons-la en série de
Fourier (c’est un vecteur de C
n ) ainsi que ses dérivées ˙
x et ¨
x,
x(t) =
n
c n (x)e
2inπt , ˙
x =
n
2niπc n (x)e
2inπt , etc.
Ensuite, la formule de Parseval donne
¨ x
2
L 2 =
4π
2 n
2
|c n ( ˙
x)|
2 ≥ 4π
2
n =0
|c n ( ˙
x)|
2 = 4π
2
˙
x
2
L 2
puisque c 0 ( ˙
x) = 0. Ainsi, on a
˙
x L 2 ≤
1
2π
¨ x L 2 .
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Il y a mille variantes. Comme celle qui remplace points fixes de difféomorphismes symplectiques par points d’intersection de sous-variétés lagrangiennes...
La coutume est de dresser une liste chronologique des résultats obtenus.
La conjecture est désormais démontrée en toute généralité (sous sa forme homologique), de nombreux mathématiciens ont contribué à cette démonstration. Par ordre chronologique et dans la crainte d’oublier des contributions,
tentons une liste, Eliashberg pour la dimension 2, Conley et Zehnder pour
les tores. C’est ensuite la révolution de Floer, pour les variétés asphériques
(π 2 = 0) puis pour les variétés monotones (ce qui inclut les espaces projectifs complexes), dont les méthodes ont été ensuite étendues et exploitées par
Hofer, Salamon et, indépendamment par Ono pour le cas faiblement monotone, puis par Fukaya et Ono, par Liu et Tian et par Hofer et Salamon pour
le cas général. Renvoyons au survol [60] de Salamon pour des références
précises à ces travaux.
Démonstration pour un hamiltonien indépendant du temps et
« petit ». Ce résultat n’est pas qu’un exemple où la conjecture se démontre
facilement. Il jouera un rôle essentiel dans le calcul de l’homologie de Floer
au chapitre 10.
Proposition 6.1.5. Soit H une fonction sur R
2n , de sorte que X H est un
champ de vecteurs sur R
2n . Si dX H L 2 < 2π, les seules solutions de
période 1 du système hamiltonien associé à H sont les solutions constantes
(points critiques de H).
Remarquons ici que, lorsque le hamiltonien H est « C
2 -petit », démontrer
l’inégalité contenue dans la conjecture d’Arnold revient à démontrer les
inégalités de Morse (voir la remarque 5.4.7).
Démonstration. Nous reprenons ici la démonstration donnée dans [41].
Considérons une solution x de période 1 et développons-la en série de
Fourier (c’est un vecteur de C
n ) ainsi que ses dérivées ˙
x et ¨
x,
x(t) =
n
c n (x)e
2inπt , ˙
x =
n
2niπc n (x)e
2inπt , etc.
Ensuite, la formule de Parseval donne
¨ x
2
L 2 =
4π
2 n
2
|c n ( ˙
x)|
2 ≥ 4π
2
n =0
|c n ( ˙
x)|
2 = 4π
2
˙
x
2
L 2
puisque c 0 ( ˙
x) = 0. Ainsi, on a
˙
x L 2 ≤
1
2π
¨ x L 2 .