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CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Proposition 6.1.1. Le nombre de solutions périodiques de période 1 d’un système hamiltonien autonome non dégénéré sur une variété symplectique compacte W est supérieur ou égal à la somme
i
dim HM i (W ; Z/2).
La conjecture d’Arnold que nous allons étudier ici est exactement le même
énoncé, à cela près que le hamiltonien n’est plus supposé autonome, il dépend du temps.
Conjecture 6.1.2 (d’Arnold). Soit W une variété symplectique compacte et
soit
H : W × R −→ R
un hamiltonien dépendant du temps. Supposons que les solutions de période 1 du système hamiltonien associé soient non dégénérées. Alors leur
nombre est supérieur ou égal à la somme
i
dim HM i (W ; Z/2).
Rappelons qu’une solution de période 1 est dite non dégénérée si la différentielle du flot au temps 1 n’a pas de vecteur fixe (voir la définition 5.4.4).
Remarque 6.1.3. Dans cet énoncé, H peut aussi bien être supposé périodique,
au sens où H(x, t + 1) = H(x, t). En effet,
d
dt
(ϕ
α(t) ) =
dα
dt
X H α(t) (ϕ
α(t) (x)) = X α (t)H α(t) (ϕ
α(t) (x)),
donc t → ϕ
α(t) est le flot du champ de vecteurs hamiltonien associé à la
fonction K t = α
(t)H α(t) . Si α est une fonction de [0, 1] dans [0, 1] nulle
(et plate) près de 0, égale à 1 (et plate) près de 1, cette égalité donne à
la fois le fait que ϕ
α(1) = ϕ
1 et le fait que K t peut être prolongée en une
fonction périodique du temps t.
Remarques 6.1.4. Il y aurait mille autres remarques à faire. La « bonne »
conjecture est que le nombre de points fixes d’un difféomorphisme qui est
un « temps 1 » comme ci-dessus est supérieur ou égal au nombre minimal de
points critiques d’une fonction sur la variété. Et que, si ces points fixes sont
non dégénérés, alors leur nombre est supérieur ou égal au nombre minimal
de points critiques d’une fonction de Morse sur cette variété
(1) .
(1) On a vu dans la remarque 4.4.5 que le nombre minimal de points critiques d’une
fonction peut être inférieur au nombre minimal de points critiques d’une fonction de
Morse.
CHAPITRE 6. CONJECTURE D’ARNOLD ET ÉQUATION DE FLOER
Proposition 6.1.1. Le nombre de solutions périodiques de période 1 d’un système hamiltonien autonome non dégénéré sur une variété symplectique compacte W est supérieur ou égal à la somme
i
dim HM i (W ; Z/2).
La conjecture d’Arnold que nous allons étudier ici est exactement le même
énoncé, à cela près que le hamiltonien n’est plus supposé autonome, il dépend du temps.
Conjecture 6.1.2 (d’Arnold). Soit W une variété symplectique compacte et
soit
H : W × R −→ R
un hamiltonien dépendant du temps. Supposons que les solutions de période 1 du système hamiltonien associé soient non dégénérées. Alors leur
nombre est supérieur ou égal à la somme
i
dim HM i (W ; Z/2).
Rappelons qu’une solution de période 1 est dite non dégénérée si la différentielle du flot au temps 1 n’a pas de vecteur fixe (voir la définition 5.4.4).
Remarque 6.1.3. Dans cet énoncé, H peut aussi bien être supposé périodique,
au sens où H(x, t + 1) = H(x, t). En effet,
d
dt
(ϕ
α(t) ) =
dα
dt
X H α(t) (ϕ
α(t) (x)) = X α (t)H α(t) (ϕ
α(t) (x)),
donc t → ϕ
α(t) est le flot du champ de vecteurs hamiltonien associé à la
fonction K t = α
(t)H α(t) . Si α est une fonction de [0, 1] dans [0, 1] nulle
(et plate) près de 0, égale à 1 (et plate) près de 1, cette égalité donne à
la fois le fait que ϕ
α(1) = ϕ
1 et le fait que K t peut être prolongée en une
fonction périodique du temps t.
Remarques 6.1.4. Il y aurait mille autres remarques à faire. La « bonne »
conjecture est que le nombre de points fixes d’un difféomorphisme qui est
un « temps 1 » comme ci-dessus est supérieur ou égal au nombre minimal de
points critiques d’une fonction sur la variété. Et que, si ces points fixes sont
non dégénérés, alors leur nombre est supérieur ou égal au nombre minimal
de points critiques d’une fonction de Morse sur cette variété
(1) .
(1) On a vu dans la remarque 4.4.5 que le nombre minimal de points critiques d’une
fonction peut être inférieur au nombre minimal de points critiques d’une fonction de
Morse.