CHAPITRE 6
LA CONJECTURE D’ARNOLD
ET L’ÉQUATION DE FLOER
Dans ce chapitre, nous arrivons au cœur de notre sujet, la conjecture
d’Arnold. Nous énonçons cette conjecture, qui est une minoration du nombre
de points fixes de certains difféomorphismes hamiltoniens. Nous identifions
ensuite ces points fixes à des orbites périodiques de systèmes hamiltoniens
et aux points critiques de la « fonctionnelle d’action ». Nous décrivons cette
fonctionnelle, une fonction sur l’espace des lacets contractiles de la variété
symplectique de départ, ainsi que l’équation différentielle définissant le flot
du gradient de cette fonctionnelle, l’équation de Floer, une équation aux
dérivées partielles puisqu’y interviennent la variable du lacet et celle du
flot du gradient. Nous commençons à étudier l’espace des solutions de cette
équation, en montrant une propriété de compacité.
6.1. La conjecture d’Arnold
Le cadre général de la conjecture d’Arnold (énoncée par Arnold
dans [2, 1]) est celui d’un difféomorphisme symplectique d’une variété
symplectique, le problème est d’estimer le nombre de ses points fixes. Bien
entendu, il est très facile de construire des variétés symplectiques et des
difféomorphismes symplectiques sur celles-ci qui n’ont aucun point fixe.
Une rotation sur un tore par exemple (il faut faire l’exercice 22 page 475).
À l’opposé, nous avons vu (au § 5.4) que le « temps 1 » du flot d’un
champ de vecteurs hamiltonien a, lui, au moins autant de points fixes que
la fonction qui lui a donné naissance a de points critiques. En appliquant la
proposition 4.4.3, nous en déduisons :
LA CONJECTURE D’ARNOLD
ET L’ÉQUATION DE FLOER
Dans ce chapitre, nous arrivons au cœur de notre sujet, la conjecture
d’Arnold. Nous énonçons cette conjecture, qui est une minoration du nombre
de points fixes de certains difféomorphismes hamiltoniens. Nous identifions
ensuite ces points fixes à des orbites périodiques de systèmes hamiltoniens
et aux points critiques de la « fonctionnelle d’action ». Nous décrivons cette
fonctionnelle, une fonction sur l’espace des lacets contractiles de la variété
symplectique de départ, ainsi que l’équation différentielle définissant le flot
du gradient de cette fonctionnelle, l’équation de Floer, une équation aux
dérivées partielles puisqu’y interviennent la variable du lacet et celle du
flot du gradient. Nous commençons à étudier l’espace des solutions de cette
équation, en montrant une propriété de compacité.
6.1. La conjecture d’Arnold
Le cadre général de la conjecture d’Arnold (énoncée par Arnold
dans [2, 1]) est celui d’un difféomorphisme symplectique d’une variété
symplectique, le problème est d’estimer le nombre de ses points fixes. Bien
entendu, il est très facile de construire des variétés symplectiques et des
difféomorphismes symplectiques sur celles-ci qui n’ont aucun point fixe.
Une rotation sur un tore par exemple (il faut faire l’exercice 22 page 475).
À l’opposé, nous avons vu (au § 5.4) que le « temps 1 » du flot d’un
champ de vecteurs hamiltonien a, lui, au moins autant de points fixes que
la fonction qui lui a donné naissance a de points critiques. En appliquant la
proposition 4.4.3, nous en déduisons :