130 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Démonstration. Montrons que l’ouvert C n est contractile. Soit A ∈ C n ,
alors, A, comme toutes les matrices symétriques, a ses valeurs propres réelles
(positives ici) et possède une base de vecteurs propres. Considérons une valeur propre λ, l’inverse λ
−1 et la somme des sous-espaces propres associés,
E λ ⊕ E λ −1 (il n’y a pas de différence entre sous-espaces propres et caractéristiques pour ces matrices diagonalisables).
Nous avons vu que, si λμ = 1, les vecteurs propres associés à ces deux
valeurs propres sont orthogonaux pour ω. Supposons que λ soit une valeur
propre différente de 1. On a dit que la restriction de ω à E λ ⊕ E λ −1 est non
dégénérée. Les vecteurs de E λ sont tous orthogonaux entre eux (puisque
λ
2
= 1), donc un vecteur de E λ ne peut pas être orthogonal à tous les
vecteurs de E λ −1 . Dans E λ ⊕ E λ −1 , on peut donc trouver une base symplectique dont les premiers vecteurs sont des vecteurs propres pour λ et les
suivants des vecteurs propres pour E λ −1 . En considérant tous les couples de
valeurs propres, on obtient une base symplectique de R
2n dans laquelle la
matrice A est diagonale, par blocs de la forme
(λ, . . . , λ, λ
−1 , . . . , λ
−1 ).
En écrivant λ = log , on obtient une matrice diagonale (dans la même base
symplectique) dont l’exponentielle est A. On voit ainsi que A est l’exponentielle d’une matrice symétrique diagonalisable. Et, de même, qu’il y a
une application continue A → log A, de sorte que l’on peut rétracter C n sur
l’identité par la rétraction
(A, t) −→ exp(t log A).
Corollaire 5.6.10. Le déterminant d’une matrice symplectique vaut 1.
En effet il vaut clairement ±1 et le groupe est connexe par arcs.
Voir aussi les exercices 16 et 35. L’isomorphisme du groupe fondamental
de Sp(2n) avec Z se réalise par la composition de la projection sur U(n)
donnée par la proposition précédente et du déterminant (complexe), une
application
Sp(2n) −→ S
1 .
Démonstration. Montrons que l’ouvert C n est contractile. Soit A ∈ C n ,
alors, A, comme toutes les matrices symétriques, a ses valeurs propres réelles
(positives ici) et possède une base de vecteurs propres. Considérons une valeur propre λ, l’inverse λ
−1 et la somme des sous-espaces propres associés,
E λ ⊕ E λ −1 (il n’y a pas de différence entre sous-espaces propres et caractéristiques pour ces matrices diagonalisables).
Nous avons vu que, si λμ = 1, les vecteurs propres associés à ces deux
valeurs propres sont orthogonaux pour ω. Supposons que λ soit une valeur
propre différente de 1. On a dit que la restriction de ω à E λ ⊕ E λ −1 est non
dégénérée. Les vecteurs de E λ sont tous orthogonaux entre eux (puisque
λ
2
= 1), donc un vecteur de E λ ne peut pas être orthogonal à tous les
vecteurs de E λ −1 . Dans E λ ⊕ E λ −1 , on peut donc trouver une base symplectique dont les premiers vecteurs sont des vecteurs propres pour λ et les
suivants des vecteurs propres pour E λ −1 . En considérant tous les couples de
valeurs propres, on obtient une base symplectique de R
2n dans laquelle la
matrice A est diagonale, par blocs de la forme
(λ, . . . , λ, λ
−1 , . . . , λ
−1 ).
En écrivant λ = log , on obtient une matrice diagonale (dans la même base
symplectique) dont l’exponentielle est A. On voit ainsi que A est l’exponentielle d’une matrice symétrique diagonalisable. Et, de même, qu’il y a
une application continue A → log A, de sorte que l’on peut rétracter C n sur
l’identité par la rétraction
(A, t) −→ exp(t log A).
Corollaire 5.6.10. Le déterminant d’une matrice symplectique vaut 1.
En effet il vaut clairement ±1 et le groupe est connexe par arcs.
Voir aussi les exercices 16 et 35. L’isomorphisme du groupe fondamental
de Sp(2n) avec Z se réalise par la composition de la projection sur U(n)
donnée par la proposition précédente et du déterminant (complexe), une
application
Sp(2n) −→ S
1 .