5.6. LE GROUPE SYMPLECTIQUE
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Soient donc X ∈ Ker(A − λ Id)
r+1 , Y ∈ Ker(A − μ Id)
s+1 . On a
ω(X, Y ) = ω(AX, AY )
= ω((A − λ Id)X, AY ) + λω(X, AY )
= λω(X, AY )
puisque P r,s+1 est supposée vraie. Ensuite,
λω(X, AY ) = λω(X, (A − μ Id)Y ) + λμω(X, Y )
= λμω(X, Y )
en appliquant P r+1,s . Finalement
ω(X, Y ) = λμω(X, Y )
donc ω(X, Y ) = 0 et P r+1,s+1 est vérifiée.
On appelle espace caractéristique et on note E λ le sous-espace de C
2n
défini par
E λ =
r
Ker(A − λ Id)
r .
Il est classique que E λ est un espace vectoriel complexe de dimension la
multiplicité m(λ) de la valeur propre λ et que C
2n est la somme directe des
sous-espaces E λ . Voici une conséquence immédiate de la proposition :
Corollaire 5.6.7.
(1) Si λμ = 1, ω(E λ , E μ ) = 0.
(2) En restriction à E 1 et E −1 , ω est non dégénérée. En particulier, les
restrictions de ω à E ±1 ∩ R
2n sont des formes symplectiques et les multiplicités m(1), m(−1) sont paires.
(3) Pour tout λ ∈ Spec(A) − {−1, +1}, la restriction de ω à E λ ⊕ E 1/λ
est non dégénérée.
Remarque 5.6.8. L’application X → X est un isomorphisme (d’espaces vectoriels réels) de E λ sur E λ .
5.6.d. La décomposition polaire. On a vu que le groupe U(n) est un
sous-groupe de Sp(2n). Il est classique que c’en est la composante compacte.
La décomposition polaire de GL(n; R) donne en effet un homéomorphisme
Sp(2n) −→ U(n) × C n
A −→ US
où C n désigne l’ouvert des matrices qui sont à la fois symplectiques et
symétriques définies positives. Rappelons que S =
√
t AA et U = AS
−1 .
Proposition 5.6.9. Le groupe Sp(2n) se rétracte sur U(n). En particulier, il
est connexe par arcs et son groupe fondamental est isomorphe à Z.