128 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Démonstration. On a en effet A = −J 0
t
A
−1 J 0 et
d´ et(A − λ Id) = d´ et(−J 0
t
A
−1 J 0 − λ Id)
= d´ et(−
t
A
−1 + λ Id) puisque J
2
0 = − Id
= d´ et(
t
A
−1 ) d´ et(Id −λ
t
A)
= d´ et(λ
t
A − Id) puisque d´ et A = 1 (corollaire 5.6.10)
= λ
2n d´ et
A −
1
λ
Id
Remarque 5.6.5. Les multiplicités de λ, λ
−1 , λ et λ
−1 comme valeurs propres
de A sont les mêmes.
5.6.c. Les espaces propres des éléments de Sp(2n). Pour étudier les
sous-espaces propres de A ∈ Sp(2n; R), on doit complexifier l’espace R
2n
(en C
2n !), on considère donc A ∈ GL(2n; C) et on « prolonge » la forme
symplectique ω en une forme C-bilinéaire
ω : C
2n
× C
2n
−→ C.
Proposition 5.6.6. Soient λ et μ deux valeurs propres de A avec λμ = 1,
et soient r et s deux entiers (non nuls). Si X ∈ Ker(A − λ Id)
r et
Y ∈ Ker(A − μ Id)
s , alors ω(X, Y ) = 0.
Démonstration. Appelons P r,s la propriété. On démontre d’abord P 1,s par
récurrence sur s :
– On a P 1,1 puisque
ω(X, Y ) = ω(AX, AY ) = λμω(X, Y ).
– Ensuite, si on suppose P 1,s vraie, soit X un vecteur propre de A et soit
Y ∈ Ker(A − μ Id)
s+1 , on a
ω(X, Y ) = ω(AX, AY )
= λω(X, (A − μ Id)Y ) + λμω(X, Y )
= λμω(X, Y )
puisque (A − μ Id)Y ∈ Ker(A − μ Id)
s .
On a de même la propriété P r,1 . Pour montrer P r,s , par récurrence, on vérifie
que
P r,s+1 et P r+1,s =⇒ P r+1,s+1 .