5.6. LE GROUPE SYMPLECTIQUE
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telles que
t UV =
t V U
t UU +
t V V = Id .
C’est exactement la condition pour que U +iV soit une matrice unitaire.
5.6.b. Les valeurs propres des éléments de Sp(2n). Soit A ∈ Sp(2n).
C’est dire que
t
AJ 0 A = J 0 , ou encore que
t
A = J 0 A
−1 J
−1
0
= −J 0 A
−1 J 0 .
En particulier
t
A et A
−1 sont semblables (puisque
t
A et A le sont) et donc A
et A
−1 sont semblables.
Proposition 5.6.3. Si A ∈ Sp(2n), A, A
−1 et
t
A sont semblables.
Notons que λ est une valeur propre de A si et seulement si λ
−1 l’est aussi.
La figure 2 représente les positions des valeurs propres d’une matrice symplectique dans C. On a même que les multiplicités de λ et λ
−1 coïncident,
λ = λ
1
λ
λ
λ
1
λ
λ =
1
λ
Figure 2
comme conséquence de l’énoncé suivant.
Proposition 5.6.4. Le polynôme caractéristique de A ∈ Sp(2n) est symétrique
(au sens où ses coefficients sont symétriques), c’est-à-dire qu’on a
pour A ∈ Sp(2n), d´ et(A − λ Id) = λ
2n d´ et
A −
1
λ
Id
.