126 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Le groupe symplectique, noté Sp(2n) est le groupe des isométries, ou
transformations symplectiques de ω. Une transformation g de C
n est dite
symplectique si elle vérifie
ω(gZ, gZ
) = ω(Z, Z
) pour tous Z, Z
∈ C
n .
Exemple 5.6.1 (le groupe Sp(2)). Le groupe symplectique de C est isomorphe
à SL(2; R).
5.6.a. Relations entre sous-groupes de GL(2n; R). Considérons les
groupes O(2n), GL(n; C), U(n) et Sp(2n) comme des sous-groupes de
GL(2n; R).
Proposition 5.6.2. On a les égalités
Sp(2n) ∩ O(2n) = Sp(2n) ∩ GL(n; C) = O(2n) ∩ GL(n; C) = U(n).
Démonstration. Repérons les différents éléments de GL(2n; R) :
(1) g ∈ GL(n; C) si et seulement si g est C-linéaire, c’est-à-dire si et
seulement si
g(iZ) = ig(Z) pour tout Z
(pour une matrice A, c’est dire que AJ 0 = J 0 A).
(2) g ∈ Sp(2n) si et seulement si g préserve ω, c’est-à-dire si et seulement
si ω(gZ, gZ
) = ω(Z, Z
) pour tous Z et Z
. Pour une matrice A, c’est dire
que
t
AJ 0 A = J 0 .
(3) g ∈ O(2n) si et seulement si (gZ, gZ
) = (Z, Z
), pour une matrice A,
c’est dire que
t
AA = Id.
On vérifie que deux de ces conditions impliquent toujours la troisième :
– (2) et (3) impliquent que
gZ, gZ
= Z, Z
donc que g ∈ U(n) ⊂ GL(n; C).
– (3) et (1) impliquent que
ω(gZ, gZ
) = ω(gZ, −ig(iZ
)) = (gZ, g(iZ
)) = (Z, iZ
) = ω(Z, Z
)
donc que g ∈ Sp(2n).
– de même (1) et (2) impliquent (3).
En termes matriciels, l’intersection Sp(2n) ∩ O(2n) est formée des matrices
U −V
V U
∈ GL(2n; R)