5.6. LE GROUPE SYMPLECTIQUE
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et de même que JS est symétrique :
ω(Sξ, η) + ω(ξ, Sη) = g(Sξ, −Jη) + g(ξ, −JSη)
= −g(Sξ, Jη) − g(ξ, JSη)
= −g(JSξ, −η) − g(ξ, JSη)
= g(JSξ, η) − g(ξ, JSη).
Exemples 5.5.8.
(1) Le cas de R
2n a déjà été évoqué assez longuement.
(2) Le tore T
2n = R
2n /Z
2n hérite de toutes les structures (symplectique, presque complexe) dont est muni R
2n puisqu’elles sont invariantes
par translation.
(3) L’espace projectif complexe P
n (C) est muni de la structure symplectique déduite de celle de C
n+1 et que nous avons décrite plus haut (voir
la proposition 5.3.1). Il hérite d’une structure presque complexe déduite de
celle de C
n+1 définie, pour ξ ∈ T [x] P
n (C), par
Jξ = T x π(iξ
), si ξ est l’image de ξ
∈ C
n+1 , avec ξ
, x = 0.
Il est clair que le résultat ne dépend pas du choix de x ∈ [x] : si
ξ = T x π(
ξ), avec
ξ = ξ
+ λix,
on a
ξ = T u·x π(u
ξ) et u
ξ = uξ
+ λ(iu · x).
On a bien sûr aussi J(Jξ) = T x π(−ξ
) = −ξ.
Gradient et champ hamiltonien. Si W est munie d’une forme symplectique ω, d’une structure presque complexe calibrée J et de la métrique
riemannienne g(X, Y ) = ω(X, JY ), à toute fonction H : W → R, on sait
associer deux champs de vecteurs, le champ hamiltonien X H et le gradient
grad H. On a
ω(Y, X H ) = dH(Y ) = g(Y, grad H) = ω(Y, J grad H)
de sorte que
X H = J grad H et grad H = −JX H .
5.6. Le groupe symplectique
On se place ici dans R
2n muni de la forme symplectique usuelle ω et d’une
structure complexe (linéaire) qui l’identifie à C
n et que nous notons J 0 .