124 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Proposition 5.5.4. Soit j une structure complexe sur R
2n calibrée par la
forme ω. L’application
J −→ (J + j)
−1 ◦ (J − j)
est un difféomorphisme de J c (ω) sur la boule unité ouverte de l’espace vectoriel des matrices symétriques S telles que jS + Sj = 0.
Corollaire 5.5.5. L’espace J c (ω) est contractile.
On trouvera une démonstration de ces résultats classiques par exemple
dans [3, 14, 43, 5].
Maintenant W est une variété de dimension 2n munie d’une forme symplectique ω. Le choix d’une métrique riemannienne sur W (construite à
l’aide d’une partition de l’unité) permet de construire une structure presque
complexe calibrée, comme il a été remarqué plus haut.
À son fibré tangent, on associe le fibré
J c (ω) −→ W,
dont la fibre en x est J c (ω x ), des structures presque complexes calibrées
sur W . Une structure complexe calibrée est une section du fibré J c (ω) → W .
Comme les fibres de ce fibré sont contractiles, on a :
Proposition 5.5.6. L’espace des structures presque complexes calibrées par ω
sur W est non vide et contractile.
Remarquons aussi :
Proposition 5.5.7. L’espace tangent en J à J c (ω) est
T J J c (ω) = {S ∈ End(T W ) | JS + SJ = 0 et ω(Sξ, η) + ω(ξ, Sη) = 0} .
Démonstration. La première égalité est la version infinitésimale du fait que
J
2 = − Id, la deuxième dit que S est symétrique (pour la métrique g définie
par J) :
g(Sξ, η) = ω(Sξ, Jη)
= −ω(ξ, SJη)
= ω(ξ, JSη)
= g(ξ, Sη),