5.5. STRUCTURES COMPLEXES
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Afin de démontrer l’existence de structures presque complexes qui calibrent toutes les variétés symplectiques, revenons au cas des espaces vectoriels pour redémontrer, mais cette fois sans utiliser de base, qu’il existe
des structures complexes calibrées sur tous les espaces vectoriels symplectiques. Soit (E, ω) un tel espace. Commençons par choisir un produit scalaire
(X, Y ). Comme ( , ) et ω sont non dégénérées, la relation (X, AY ) = ω(X, Y )
définit un isomorphisme A : E → E. On écrit alors la décomposition polaire
de A, c’est-à-dire A = BJ, où B est un endomorphisme symétrique défini
positif, A et B commutent et J est une isométrie.
Lemme 5.5.3. L’endomorphisme A est anti-symétrique, J est une isométrie
de ω et satisfait J
2 = −1 et JB = BJ.
Démonstration. On a
(X, AY ) = ω(X, Y ) = −ω(Y, X) = −(AX, Y )
donc A est antisymétrique. On a aussi J = B
−1 A, donc
t
J =
t
A
t
B
−1 = −AB
−1 = −B
−1 A = −J.
Comme J est une isométrie,
t
JJ = 1, de sorte que J est bien une structure
complexe. De plus,
BJ = A = −
t
A = −
t
(BJ) = −
t
J
t
B = −
t
JB = JB
donc B et J commutent, et donc A et J commutent eux aussi, ce qui donne
le résultat :
ω(JX, JY ) = (JX, AJY ) = (JX, JAY ) = (X, AY ) = ω(X, Y ).
Le produit scalaire défini par B est
((X, Y )) = (BX, Y ) = ω(X, JY ).
On a donc bien montré l’existence, sur tout espace vectoriel symplectique,
de structures complexes calibrées. Remarquons que la forme (( , ))−iω( , ) est
hermitienne. Comme la démonstration n’utilise que la forme symplectique
et le produit scalaire, elle se généralise au cas d’une variété symplectique
munie d’une métrique riemannienne.
On peut aussi remarquer que cette même construction de J, faite fibre à
fibre, donne une structure de fibré vectoriel complexe sur tout fibré vectoriel
symplectique. Le fibré tangent d’une variété symplectique, notamment.
Très important, parce que c’est ce qui va permettre d’utiliser ces structures complexes sans trop se préoccuper de la façon dont elles ont été
construites, le résultat contenu dans le corollaire 5.5.5 ci-dessous. Notons
J c (ω) l’espace des structures complexes calibrées par ω.
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Afin de démontrer l’existence de structures presque complexes qui calibrent toutes les variétés symplectiques, revenons au cas des espaces vectoriels pour redémontrer, mais cette fois sans utiliser de base, qu’il existe
des structures complexes calibrées sur tous les espaces vectoriels symplectiques. Soit (E, ω) un tel espace. Commençons par choisir un produit scalaire
(X, Y ). Comme ( , ) et ω sont non dégénérées, la relation (X, AY ) = ω(X, Y )
définit un isomorphisme A : E → E. On écrit alors la décomposition polaire
de A, c’est-à-dire A = BJ, où B est un endomorphisme symétrique défini
positif, A et B commutent et J est une isométrie.
Lemme 5.5.3. L’endomorphisme A est anti-symétrique, J est une isométrie
de ω et satisfait J
2 = −1 et JB = BJ.
Démonstration. On a
(X, AY ) = ω(X, Y ) = −ω(Y, X) = −(AX, Y )
donc A est antisymétrique. On a aussi J = B
−1 A, donc
t
J =
t
A
t
B
−1 = −AB
−1 = −B
−1 A = −J.
Comme J est une isométrie,
t
JJ = 1, de sorte que J est bien une structure
complexe. De plus,
BJ = A = −
t
A = −
t
(BJ) = −
t
J
t
B = −
t
JB = JB
donc B et J commutent, et donc A et J commutent eux aussi, ce qui donne
le résultat :
ω(JX, JY ) = (JX, AJY ) = (JX, JAY ) = (X, AY ) = ω(X, Y ).
Le produit scalaire défini par B est
((X, Y )) = (BX, Y ) = ω(X, JY ).
On a donc bien montré l’existence, sur tout espace vectoriel symplectique,
de structures complexes calibrées. Remarquons que la forme (( , ))−iω( , ) est
hermitienne. Comme la démonstration n’utilise que la forme symplectique
et le produit scalaire, elle se généralise au cas d’une variété symplectique
munie d’une métrique riemannienne.
On peut aussi remarquer que cette même construction de J, faite fibre à
fibre, donne une structure de fibré vectoriel complexe sur tout fibré vectoriel
symplectique. Le fibré tangent d’une variété symplectique, notamment.
Très important, parce que c’est ce qui va permettre d’utiliser ces structures complexes sans trop se préoccuper de la façon dont elles ont été
construites, le résultat contenu dans le corollaire 5.5.5 ci-dessous. Notons
J c (ω) l’espace des structures complexes calibrées par ω.