122 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
En d’autres termes, l’ensemble des structures presque complexes linéaires
sur l’espace R
2n s’identifie à l’espace homogène
J n = GL(2n; R)/ GL(n; C).
Structures presque complexes calibrées sur une variété symplectique. Une structure presque complexe J sur une variété est un
endomorphisme du fibré tangent qui vérifie J
2 = − Id.
Exemples 5.5.2.
(1) Si W est une variété complexe (c’est-à-dire une variété localement
modelée sur C
n avec changements de cartes analytiques), son espace tangent T x W en tout point est un espace vectoriel complexe, la multiplication
par i est une structure presque complexe. C’est cette situation qu’imite la
définition d’une structure presque complexe : J joue le rôle de la multiplication par i.
(2) Soit par exemple W une surface orientée, munie d’une métrique riemannienne, de sorte que nous avons une notion de rotation de +π/2 dans
chaque plan tangent. Cette famille de rotations définit une structure presque
complexe sur W . Ainsi, toutes les surfaces orientables ont des structures
presque complexes
(5) .
(3) Il n’est pas vrai que toutes les variétés, même pas que toutes les
variétés de dimension paire, possèdent des structures presque complexes.
Par exemple la sphère S
4 ne possède aucune structure presque complexe (et
donc aucune structure symplectique !).
(4) La sphère S
6 , et de même toutes les hypersurfaces orientables de R
7 ,
possède une structure presque complexe. Voir l’exercice 13 page 472.
Une variété presque complexe (W, J) est dite calibrée par la forme symplectique ω si J qui est une isométrie de ω et si la forme bilinéaire symétrique ω(X, JY ) est définie positive en chaque point, autrement dit, si J x
est calibrée par ω x pour tout x.
(1) La structure presque complexe construite sur un espace vectoriel symplectique à l’aide d’une base symplectique comme plus haut est calibrée par
la forme symplectique.
(2) Sur une variété complexe kählérienne, la forme de Kähler calibre la
structure complexe.
(5) On peut démontrer, à la suite de Gauß, que les structures presque complexes sur les
surfaces sont en fait des structures complexes. Une référence accessible est [36, Th. 3.1.11],
qui démontre l’énoncé (équivalent) sous la forme « toute surface orientée munie d’une
métrique riemannienne est une surface de Riemann ».
En d’autres termes, l’ensemble des structures presque complexes linéaires
sur l’espace R
2n s’identifie à l’espace homogène
J n = GL(2n; R)/ GL(n; C).
Structures presque complexes calibrées sur une variété symplectique. Une structure presque complexe J sur une variété est un
endomorphisme du fibré tangent qui vérifie J
2 = − Id.
Exemples 5.5.2.
(1) Si W est une variété complexe (c’est-à-dire une variété localement
modelée sur C
n avec changements de cartes analytiques), son espace tangent T x W en tout point est un espace vectoriel complexe, la multiplication
par i est une structure presque complexe. C’est cette situation qu’imite la
définition d’une structure presque complexe : J joue le rôle de la multiplication par i.
(2) Soit par exemple W une surface orientée, munie d’une métrique riemannienne, de sorte que nous avons une notion de rotation de +π/2 dans
chaque plan tangent. Cette famille de rotations définit une structure presque
complexe sur W . Ainsi, toutes les surfaces orientables ont des structures
presque complexes
(5) .
(3) Il n’est pas vrai que toutes les variétés, même pas que toutes les
variétés de dimension paire, possèdent des structures presque complexes.
Par exemple la sphère S
4 ne possède aucune structure presque complexe (et
donc aucune structure symplectique !).
(4) La sphère S
6 , et de même toutes les hypersurfaces orientables de R
7 ,
possède une structure presque complexe. Voir l’exercice 13 page 472.
Une variété presque complexe (W, J) est dite calibrée par la forme symplectique ω si J qui est une isométrie de ω et si la forme bilinéaire symétrique ω(X, JY ) est définie positive en chaque point, autrement dit, si J x
est calibrée par ω x pour tout x.
(1) La structure presque complexe construite sur un espace vectoriel symplectique à l’aide d’une base symplectique comme plus haut est calibrée par
la forme symplectique.
(2) Sur une variété complexe kählérienne, la forme de Kähler calibre la
structure complexe.
(5) On peut démontrer, à la suite de Gauß, que les structures presque complexes sur les
surfaces sont en fait des structures complexes. Une référence accessible est [36, Th. 3.1.11],
qui démontre l’énoncé (équivalent) sous la forme « toute surface orientée munie d’une
métrique riemannienne est une surface de Riemann ».