5.5. STRUCTURES COMPLEXES
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Il est facile de montrer que tout espace vectoriel symplectique possède
des structures complexes calibrées. Celles-ci sont des isométries et sont antisymétriques pour le produit scalaire qu’elles définissent. On peut simplement
utiliser une base symplectique de l’espace vectoriel, disons (e 1 , . . . , e 2n ) avec
ω(e i , e j+n ) = δ i,j , i,j ≤ n.
Alors la formule
J 0 (x 1 e 1 + · · · + x n e n +y 1 e n+1 + · · · + y n e 2n )
= (−y 1 e 1 − · · · − y n e n + x 1 e n+1 + · · · + x n e 2n )
définit une structure complexe.
Dans le cas où l’espace vectoriel est R
2n et où l’on a utilisé la base
canonique, et si l’on veut bien se souvenir que R
2n = C
n , ce J 0 est la
multiplication par i.
Inversement, l’espace vectoriel complexe C
n , s’il est muni d’une structure
hermitienne, porte une forme symplectique. On décompose le produit scalaire hermitien en parties réelle (le produit scalaire euclidien de C
n = R
2n )
et imaginaire (la forme symplectique) :
u, v =
u i e i ,
v j e j
=
u i v j e i , e j
=
u j v j
=
(a j + ib j )(x j − iy j )
=
(a j x j + b j y j ) − i
(a j y j − b j x j )
= (u, v) − iω(u, v).
On a
u, v = iu, iv
= i((u, iv) − iω(u, iv))
= ω(u, iv) + i(u, iv),
donc ω(u, iv) est aussi le produit scalaire euclidien de u et v. En plus,
ω(iu, iv) = ω(u, v) : la multiplication par i est une « isométrie » de ω. C’est
ce que la définition sur une variété va imiter.
Remarque 5.5.1. Le groupe linéaire GL(2n; R) opère sur l’espace des structures complexes sur R
2n par g · J = gJg
−1 . À l’aide d’une base J-complexe,
on voit que cette action est transitive et que le stabilisateur d’une structure complexe J 0 est le groupe des automorphismes complexes (pour J 0 ).
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Il est facile de montrer que tout espace vectoriel symplectique possède
des structures complexes calibrées. Celles-ci sont des isométries et sont antisymétriques pour le produit scalaire qu’elles définissent. On peut simplement
utiliser une base symplectique de l’espace vectoriel, disons (e 1 , . . . , e 2n ) avec
ω(e i , e j+n ) = δ i,j , i,j ≤ n.
Alors la formule
J 0 (x 1 e 1 + · · · + x n e n +y 1 e n+1 + · · · + y n e 2n )
= (−y 1 e 1 − · · · − y n e n + x 1 e n+1 + · · · + x n e 2n )
définit une structure complexe.
Dans le cas où l’espace vectoriel est R
2n et où l’on a utilisé la base
canonique, et si l’on veut bien se souvenir que R
2n = C
n , ce J 0 est la
multiplication par i.
Inversement, l’espace vectoriel complexe C
n , s’il est muni d’une structure
hermitienne, porte une forme symplectique. On décompose le produit scalaire hermitien en parties réelle (le produit scalaire euclidien de C
n = R
2n )
et imaginaire (la forme symplectique) :
u, v =
u i e i ,
v j e j
=
u i v j e i , e j
=
u j v j
=
(a j + ib j )(x j − iy j )
=
(a j x j + b j y j ) − i
(a j y j − b j x j )
= (u, v) − iω(u, v).
On a
u, v = iu, iv
= i((u, iv) − iω(u, iv))
= ω(u, iv) + i(u, iv),
donc ω(u, iv) est aussi le produit scalaire euclidien de u et v. En plus,
ω(iu, iv) = ω(u, v) : la multiplication par i est une « isométrie » de ω. C’est
ce que la définition sur une variété va imiter.
Remarque 5.5.1. Le groupe linéaire GL(2n; R) opère sur l’espace des structures complexes sur R
2n par g · J = gJg
−1 . À l’aide d’une base J-complexe,
on voit que cette action est transitive et que le stabilisateur d’une structure complexe J 0 est le groupe des automorphismes complexes (pour J 0 ).