120 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Voici une autre façon de comprendre ce fait. Soit
S
1
−→ W
t −→ x(t)
une trajectoire périodique du champ de vecteurs X t sur W . L’équation différentielle linéarisée
(4) le long de la solution x a, comme tous les systèmes
différentiels linéaires d’ordre 2n, un espace vectoriel de solutions de dimension 2n. Si Y 1 , . . . , Y 2n est une base de T x(0) W , il existe une unique base
Y 1 (t), . . . , Y 2n (t) de T x(t) W telle que
Y i (t) est une solution
Y i (0) = Y i .
Alors Y 1 (1), . . . , Y 2n (1) est aussi une base de T x(0) W , puisque x est périodique de période 1. Elle se déduit de Y 1 , . . . , Y 2n par un isomorphisme
linéaire qui n’est autre que T x(0) ψ
1 (voir le § 14.4.c). Dans la théorie des
équations différentielles linéaires, cet isomorphisme est la monodromie de
l’équation le long de la trajectoire x ; quand cette équation est, comme
la nôtre, à coefficients périodiques, les valeurs propres de la monodromie
sont des multiplicateurs de Floquet ; le fait que la monodromie n’ait pas
la valeur propre 1 (c’est notre hypothèse de non-dégénérescence) est équivalent au fait que l’équation linéarisée n’ait pas de solution périodique. Cette
non-dégénérescence est aussi une forme de transversalité, voir l’exercice 6
page 470.
5.5. Structures complexes
Nous montrons ici que toutes les variétés symplectiques possèdent des
structures (presque) complexes compatibles avec leurs structures symplectiques en un sens que nous commençons par préciser.
Sur un espace vectoriel. Si E est un espace vectoriel muni d’une forme
symplectique ω, on dit qu’un endomorphisme J de E est une structure
complexe calibrée par ω si J
2 = − Id (J est une structure complexe),
ω(Jv, Jw) = ω(v, w)
(J est symplectique) et
g(v, w) = ω(v, Jw)
est un produit scalaire (défini positif) sur E.
(4) Voir si nécessaire le § 14.4.c.
Voici une autre façon de comprendre ce fait. Soit
S
1
−→ W
t −→ x(t)
une trajectoire périodique du champ de vecteurs X t sur W . L’équation différentielle linéarisée
(4) le long de la solution x a, comme tous les systèmes
différentiels linéaires d’ordre 2n, un espace vectoriel de solutions de dimension 2n. Si Y 1 , . . . , Y 2n est une base de T x(0) W , il existe une unique base
Y 1 (t), . . . , Y 2n (t) de T x(t) W telle que
Y i (t) est une solution
Y i (0) = Y i .
Alors Y 1 (1), . . . , Y 2n (1) est aussi une base de T x(0) W , puisque x est périodique de période 1. Elle se déduit de Y 1 , . . . , Y 2n par un isomorphisme
linéaire qui n’est autre que T x(0) ψ
1 (voir le § 14.4.c). Dans la théorie des
équations différentielles linéaires, cet isomorphisme est la monodromie de
l’équation le long de la trajectoire x ; quand cette équation est, comme
la nôtre, à coefficients périodiques, les valeurs propres de la monodromie
sont des multiplicateurs de Floquet ; le fait que la monodromie n’ait pas
la valeur propre 1 (c’est notre hypothèse de non-dégénérescence) est équivalent au fait que l’équation linéarisée n’ait pas de solution périodique. Cette
non-dégénérescence est aussi une forme de transversalité, voir l’exercice 6
page 470.
5.5. Structures complexes
Nous montrons ici que toutes les variétés symplectiques possèdent des
structures (presque) complexes compatibles avec leurs structures symplectiques en un sens que nous commençons par préciser.
Sur un espace vectoriel. Si E est un espace vectoriel muni d’une forme
symplectique ω, on dit qu’un endomorphisme J de E est une structure
complexe calibrée par ω si J
2 = − Id (J est une structure complexe),
ω(Jv, Jw) = ω(v, w)
(J est symplectique) et
g(v, w) = ω(v, Jw)
est un produit scalaire (défini positif) sur E.
(4) Voir si nécessaire le § 14.4.c.