5.4. CHAMPS ET SYSTÈMES HAMILTONIENS
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(on a noté Z n’importe quel champ de vecteurs prolongeant le vecteur Z au
voisinage de x). En effet, prolongeons Y en un champ de vecteurs hamiltoniens X f au voisinage de x, on a
ω([X H , Z], Y ) = ω([X H , Z], X f )
= df ([X H , Z])
= [X H , Z] · f
= X H · (Z · f ) − Z · (X H · f )
= X H · (Z · f ) + Z · (X f · H).
Calculés au point critique x de H, le premier terme est nul et le deuxième
est exactement
(d
2 H) x (X f (x), Z(x)) = (d
2 H) x (Y, Z).
Supposons maintenant que x soit non dégénéré comme trajectoire de X H .
C’est dire que, pour tout Z = 0, on a
T x ψ
1 (Z) − Z = 0.
Comme ψ
0 = Id, il doit exister un t tel que
d
dt
T x ψ
t (Z) = 0,
mais cette dérivée est
T x ψ
t ([X H , Z]),
donc, pour tout Z = 0, il existe un t pour lequel T x ψ
t ([X H , Z]) = 0. On
en déduit que, pour tout Y = 0, [X H , Z] = 0. Grâce à la relation ci-dessus,
ceci implique la non-dégénérescence de x comme point critique de H.
Remarque 5.4.6. Dans des coordonnées locales, la matrice de T x ψ
1 est
la matrice jacobienne Jac x ψ
1 , c’est-à-dire exp(J 0 Hess x (H)) (voir au besoin l’exercice 8 page 471), où Hess désigne la matrice hessienne. La nondégénérescence de x comme orbite périodique est donc équivalente à l’inversibilité de exp(J 0 Hess x (H)) − Id, c’est-à-dire au fait que la hessienne de H
n’a pas de valeur propre dans 2πZ.
Remarque 5.4.7. Si le hamiltonien H est « assez » C
2 -petit, précisément
si la norme de sa hessienne est strictement inférieure à 2π, la remarque
précédente montre que la réciproque à la proposition 5.4.5 est vraie : les
deux notions de non-dégénérescence coïncident.
Remarque 5.4.8. Les solutions périodiques (de période 1) constantes non dégénérées sont donc isolées, il n’y a pas de solution périodique infinitésimalement proche. Ceci est vrai plus généralement des solutions non dégénérées.
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(on a noté Z n’importe quel champ de vecteurs prolongeant le vecteur Z au
voisinage de x). En effet, prolongeons Y en un champ de vecteurs hamiltoniens X f au voisinage de x, on a
ω([X H , Z], Y ) = ω([X H , Z], X f )
= df ([X H , Z])
= [X H , Z] · f
= X H · (Z · f ) − Z · (X H · f )
= X H · (Z · f ) + Z · (X f · H).
Calculés au point critique x de H, le premier terme est nul et le deuxième
est exactement
(d
2 H) x (X f (x), Z(x)) = (d
2 H) x (Y, Z).
Supposons maintenant que x soit non dégénéré comme trajectoire de X H .
C’est dire que, pour tout Z = 0, on a
T x ψ
1 (Z) − Z = 0.
Comme ψ
0 = Id, il doit exister un t tel que
d
dt
T x ψ
t (Z) = 0,
mais cette dérivée est
T x ψ
t ([X H , Z]),
donc, pour tout Z = 0, il existe un t pour lequel T x ψ
t ([X H , Z]) = 0. On
en déduit que, pour tout Y = 0, [X H , Z] = 0. Grâce à la relation ci-dessus,
ceci implique la non-dégénérescence de x comme point critique de H.
Remarque 5.4.6. Dans des coordonnées locales, la matrice de T x ψ
1 est
la matrice jacobienne Jac x ψ
1 , c’est-à-dire exp(J 0 Hess x (H)) (voir au besoin l’exercice 8 page 471), où Hess désigne la matrice hessienne. La nondégénérescence de x comme orbite périodique est donc équivalente à l’inversibilité de exp(J 0 Hess x (H)) − Id, c’est-à-dire au fait que la hessienne de H
n’a pas de valeur propre dans 2πZ.
Remarque 5.4.7. Si le hamiltonien H est « assez » C
2 -petit, précisément
si la norme de sa hessienne est strictement inférieure à 2π, la remarque
précédente montre que la réciproque à la proposition 5.4.5 est vraie : les
deux notions de non-dégénérescence coïncident.
Remarque 5.4.8. Les solutions périodiques (de période 1) constantes non dégénérées sont donc isolées, il n’y a pas de solution périodique infinitésimalement proche. Ceci est vrai plus généralement des solutions non dégénérées.