118 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Hamiltoniens dépendant du temps. On va considérer ici des hamiltoniens « dépendant du temps », c’est-à-dire des fonctions
H : W × R −→ R,
et les champs hamiltoniens, notés X t ,
X t = X Ht , si l’on note H(x, t) = H t (x).
Le système différentiel associé n’est plus autonome, c’est le système
˙
x(t) = X t (x(t)).
Comme dans le cas autonome, les solutions du système permettent de définir
une famille de difféomorphismes symplectiques ψ
t tels que
d
dt
ψ
t = X t ◦ ψ
t
et ψ
0 = Id .
De même que dans la proposition 5.4.2 (et avec la même démonstration),
ψ
t préserve la forme symplectique.
Solutions périodiques non dégénérées. Une solution périodique de
période 1 du système différentiel correspond à un point fixe du difféomorphisme ψ
1 . Si l’on suppose en plus que le hamiltonien H est périodique de
période 1, alors les points fixes proviennent des solutions périodiques.
Définition 5.4.4. Une solution périodique x est dite non dégénérée si la
différentielle de ψ
1 n’a pas la valeur propre 1, en symboles mathématiques si
d´ et(Id −T x(0) ψ
1 ) = 0.
Dans le cas particulier où le hamiltonien H dépendant du temps n’en
dépend pas, les points critiques de H sont des solutions périodiques
(constantes) du système hamiltonien. L’exemple 5.4.3 rend plausible
l’énoncé :
Proposition 5.4.5. Si un point critique de H est non dégénéré comme solution
périodique du système hamiltonien, alors il est non dégénéré comme point
critique de la fonction H.
Démonstration. On peut utiliser le théorème de Darboux au voisinage du
point critique, la formule de Taylor à l’ordre 2 pour H, et déduire le résultat
du calcul explicite effectué ci-dessus. Voici une autre démonstration. On
commence par remarquer que, si Y et Z sont deux vecteurs tangents à W
en x, on a
(d
2 H) x (Y, Z) = ω x ([X H , Z] x , Y )
Hamiltoniens dépendant du temps. On va considérer ici des hamiltoniens « dépendant du temps », c’est-à-dire des fonctions
H : W × R −→ R,
et les champs hamiltoniens, notés X t ,
X t = X Ht , si l’on note H(x, t) = H t (x).
Le système différentiel associé n’est plus autonome, c’est le système
˙
x(t) = X t (x(t)).
Comme dans le cas autonome, les solutions du système permettent de définir
une famille de difféomorphismes symplectiques ψ
t tels que
d
dt
ψ
t = X t ◦ ψ
t
et ψ
0 = Id .
De même que dans la proposition 5.4.2 (et avec la même démonstration),
ψ
t préserve la forme symplectique.
Solutions périodiques non dégénérées. Une solution périodique de
période 1 du système différentiel correspond à un point fixe du difféomorphisme ψ
1 . Si l’on suppose en plus que le hamiltonien H est périodique de
période 1, alors les points fixes proviennent des solutions périodiques.
Définition 5.4.4. Une solution périodique x est dite non dégénérée si la
différentielle de ψ
1 n’a pas la valeur propre 1, en symboles mathématiques si
d´ et(Id −T x(0) ψ
1 ) = 0.
Dans le cas particulier où le hamiltonien H dépendant du temps n’en
dépend pas, les points critiques de H sont des solutions périodiques
(constantes) du système hamiltonien. L’exemple 5.4.3 rend plausible
l’énoncé :
Proposition 5.4.5. Si un point critique de H est non dégénéré comme solution
périodique du système hamiltonien, alors il est non dégénéré comme point
critique de la fonction H.
Démonstration. On peut utiliser le théorème de Darboux au voisinage du
point critique, la formule de Taylor à l’ordre 2 pour H, et déduire le résultat
du calcul explicite effectué ci-dessus. Voici une autre démonstration. On
commence par remarquer que, si Y et Z sont deux vecteurs tangents à W
en x, on a
(d
2 H) x (Y, Z) = ω x ([X H , Z] x , Y )